利用正、余弦定理判定三角形形状

所以，?ABC为直角三角形. 方法二：均统一成角.

sinA?sinB

cosA?cosBA?BA?B2sincosA?BA?B22

2sincos?A?BA?B222coscos22A?BA?B?0所以，2cos2?1?0，即cos(A?B)?0. 又在?ABC中，22已知等式可化为：sin(A?B)?可得，A?B??2.所以，?ABC为直角三角形.

【点评】（1）本题等式两边均为正弦的齐次式，可利用正、余弦定理代换，统一成边的等式，

再变形.（2）本题等式两边均为角，也可直接进行三角恒等变形，关键是sinA?sinB与

cosA?cosB的变形方法，有两种：一是和差化积公式应用；也可令A?B?A?BA?B?，22A?BA?B?，再利用两角和与差的正、余弦公式化简.（3）sinC?sin(A?B)体现22了消元思想的应用.

【小结】判断三角形形状问题解题规律：

1.角化边：应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状.

2.边化角：应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状.

巩固练习：

1.在?ABC中，已知(a?b)?sin(A?B)?(a?b)?sin(A?B),判断该三角形的形状. 2.在?ABC中，如果lga?lgc?lgsinB??lg2，且角B为锐角，判断此三角形的形状. 3.在?ABC中，若tanA:tanB?a:b,试判断?ABC的形状.

222222巩固练习答案：

1.【解析】方法一：均统一成角.

a2[sin(A?B)?sin(A?B)]?b2[?sin(A?B)?sin(A?B)]，

?2a2cosAsinB?2b2cosBsinA.

22由正弦定理，即知sinAcosAsinB?sinBcosBsinA，

?sinAsinB(sinAcosA?sinBcosB)?0，

?sin2A?sin2B.

在?ABC中，可得0?2A,2B?2?，所以，2A?2B或2A???2B.

即A?B或A?B??2.

即?ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法二：均统一成边.

同上可得2a2cosAsinB?2b2cosBsinA，

b2?c2?a2a2?c2?b22?ba?由正、余弦定理得：ab?，

2bc2ac2a2(b2?c2?a2)?b2(a2?c2?b2)，

即(a2?b2)(c2?a2?b2)?0.所以a?b或c2?a2?b2. 即?ABC为等腰三角形或直角三角形.

2.【解析】由lga?lgc?lgsinB??lg2，得lgsinB??lg2?lg2， 2?sinB?2，又B是锐角，?B?45?. 2a2a2，??. ?lgc2c2又lga?lgc??lg2，即lg由正弦定理，得：

sinA2，?2sinC?2sinA. ?sinC2,?A?B?C?180??A?180??C?B?180??45??C?135??C，

?2sinC?2sin(135??C)，?sinC?sinC?cosC,?cosC?0， ?C?90?.故此三角形是等腰直角三角形.

3.【解析】方法一：均统一成角.

sinAcosBsin2A?由已知条件及正弦定理可得，?A,B为三角形的内角， 2cosAsinBsinB?sinA?0,sinB?0，?sin2A?sin2B,?2A?2B或2A???2B，?A?B或

A?B??2，所以?ABC为等腰三角形或直角三角形。

方法二：均统一成边.

sinAsin2AcosBsincosA?由已知条件及正弦定理可得，即?sinBsin2BcosAsincosBA，由正弦定理和余弦定理可Ba2?c2?b2a422224a?ac?bc?b?0， 得22ac，整理，得?22b?c?ab2bc即(a2?b2)?(a2?b2?c2)?0，?a2?b2或a2?b2?c2?0，?a?b或a2?b2?c2. 所以，?ABC为等腰三角形或直角三角形.

作者：郑祖宏

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