北师大版数学[中考总复习：四边形综合复习--知识点整理及重点题型梳理](提高)

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∴AG=DH，

∴CG+AG=GH+HD， ∴CG+AG=（GH+HD）， 即CG+AG=DG；

（3）如图3，延长DF，CB交于点K， ∵P是AB的中点， ∴AP=BP=1．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°． ∵在△ADP和△BKP中

，

∴△ADP≌△BKP（ASA）， ∴AD=KB=BC=2．

在Rt△ADP中由勾股定理，得 PD=，

∴AE=PA?AD， ∴AE=∴EG=∴FG=

，DE=，DF=．

， ，

在Rt△KCD中，由勾股定理，得 KD=2， ∴KF=

，

∴KF=FG， ∵KB=BC，

∴FB∥CG，BF=CG， ∴BF=?

CH=

DE=

．

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【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，解答时合理运用全等是重点，运用三角形的中位线的性质求解是难点．

举一反三：

【变式】如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．

（1）求证：△ADF≌△ABE；

（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=2AE．请你说明理由．

【答案】证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB=AD，

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∵在△ADF和△ABE中，

?AD?AB???ADF??EBA，∴△ADF≌△ABE； ?DF?BE?

（2）理由如下：

由（1）有△ADF≌△ABE， ∴AF=AE，∠1=∠2，

在正方形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠3=90°， ∴∠BAF+∠4=90°， ∴∠EAF=90°，

∴△EAF是等腰直角三角形，

22222

∴EF=AE+AF，∴EF=2AE， ∴EF=2AE，即DE-DF=2AE， ∴DE-BE=2AE． 【四边形综合复习 例2】

3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，tan?CAD?4，CA=CD，E、F分别是线

3段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y. （1）求AC和AD的长； （2）求y与x的函数关系式；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.

BC

FAED

【思路点拨】本题涉及到的考点有相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角梯形；锐角三角函数的定义． 【答案与解析】

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（1）∵AD∥BC，∠B=90°， ∴∠ACB=∠CAD． ∴tan∠ACB=tan∠CAD=∴4． 3AB4=． BC3∵AB=8，∴BC=6．则AC=10． 过点C作CH⊥AD于点H， ∴CH=AB=8，则AH=6． ∵CA=CD，∴AD=2AH=12． （2）∵CA=CD， ∴∠CAD=∠D． ∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD， ∴∠FEC=∠D． ∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D， ∴∠1=∠2． ∴△AEF∽△DCE． ∴x10DECD?，即． ?10?y12?xAFAE∴y=126x?x?10． 105（3）若△EFC为等腰三角形． ①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE， ∴AE=CD． ∵12-x=10，∴x=2． ②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE， ∴CE=AE=12-x． 在Rt△CHE中，由（12-x）=（6-x）+8，解得x=22211． 3③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE， 此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去． 综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或x=11． 3【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、直角梯形及锐角三角形函数的定义等知识；应用相似的性质，得到比例式，借助比例式解题是很重要的方法，做题时注意应用，对于等腰三角形问题要注意分类讨论也是比较重要的，注意掌握． 资料来源于网络 仅供免费交流使用