分数阶微积分及分数阶方程初步研究

分数阶微积分及分数阶方程初步研究

[摘要] 分数阶微积分及分数阶方程是当今国内外研究的最热的研究课题，理论

及相关问题的研究还处在初级阶段。本文旨在通过引入分数阶导数及其相关问题，初步介绍和研究了分数阶微积分的若干性质。本文分别给出分数阶导数常见的四种定义：Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义、Weyl分数阶导数定义，讨论了其联系与区别。在整数阶微积分的基础上进一步延伸了Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶的运算法则、基本性质。最后简要介绍了线性分数阶微分方程初值问题解的唯一存在性。

[关键词] 分数阶导数；分数阶方程；Grünwald-Letniko分数阶导数；

Riemann-Liouville分数阶导数；Caputo分数阶导数.

Preliminary studies of fractional calculus and fractional equation

[Abstract] Fractional Calculus and Fractional equations are the hottest research topic in today's domestic and international research, theoretical and related issues is still in its infancy.This paper aims to introduce fractional derivatives and related issues, initial presentation and study some properties of fractional calculus.This article gives four common definition of the fractional derivatives : Grunwald Letnikov fractional derivative , Riemann Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, Weyl fractional derivative and the relation and distinction between them. On the basis of the integer-order calculus,further extend the fractional algorithms and basic nature under the definition of the Riemann-Liouville fractional derivative. Finally,briefly introduced the existence and uniqueness of the solutions of linear fractional differential equations.

[Keywords]Fractional derivative;Fractional equations; Grünwald-Letnikov fractional derivative;Riemann-Liouville fractional derivative;Caputo fractional derivative.

目录

1 引言.................................................................... 1

1.1分数阶导数的研究背景、意义......................................... 2 1.2分数阶微积分理论的研究现状 ....................................... 2 1.3 本文的组织结构 .................................................... 3 2 分数阶微积分的基本概念.................................................. 3

2.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义................................... 3 2.2 Riemann-Liouville分数阶导数定义................................... 4 2.3 Caputo分数阶导数定义.............................................. 6 2.4 Weyl分数阶导数定义................................................ 6 2.5三种分数阶导数的关系及其与整数阶导数的区别......................... 8

2.5.1 Riemann-Liouville定义与Grünwald-Letnikov定义的比较.......... 8 2.5.2 Grünwald-Letnikov定义和Caputo定义的比较.................... 10 2.5.3 Riemann-Liouville定义和Caputo定义的比较.................... 11 2.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较................................. 12

3分数阶导数的运算法则 ................................................... 13

3.1分数阶导数在Riemann-Liouville定义下的运算法则.................... 13 3.2分数阶导数在其他定义下运算法则探讨................................ 16 4分数阶导数和积分的基本性质 ............................................. 17

4.1分数阶微积分的性质................................................ 17 4.2分数阶导数 、积分的奇偶性及周期性................................. 17 5分数阶方程的初步研究 ................................................... 19

5.1 序列分数阶导数 ................................................... 19 5.2线性分数阶微分方程................................................ 20 结论..................................................................... 24 致谢语................................................................... 24 [参考文献]............................................................... 17

1.引言

1.1分数阶导数研究背景、意义

整数阶导数以及积分的概念是大家所熟知的。导数dnydxn描述了y变量关于x的变化程度，有着深刻的物理背景。但现在的问题是：怎样将n推广到一般的分数，甚至是复数？

因为相比较于整数阶导数以及积分，分数阶微积分可以更简洁准确地描述具体具有历史记忆和空间全域相关性等复杂力学和物理过程这个问题可以追溯到1695年，Leibniz就与L’Hospital在信中讨论到1阶导数的问题,但当时并2没有给出计算结果．直到 1812年，Laplace利用积分给出了一个分数阶导数的定义。当y?xm时，利用Gamma函数，Lacroxi得到

??m?1?m?n?1dny?x,m?n, ndx??m?n?1?并由此给出了当y?x,n?1时的分数阶导数: 2d2xdx121?2x?，

这和现在的Riemann-Liouville分数阶导数给出的结论是一致的。 稍后，Fourier通过现在我们所谓的傅里叶变换给出了分数阶导数的定义，注意到函数f(x)可以表示为双重积分

f(x)?12?????????f?y?cos??x?y?d?dy 注意到

dn1??ncos?x?y??cos?x?y?n??, ?????dxn2??并将n替换为一般的v，通过积分号下求导数的方法，则可以将整数阶导数推广到分数阶：