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nn① (a)?a； 7解：（1）原式=a2 ∵a=?13.a31??23÷［a81(?)?32·= a6a32］151?71?245?(??)32=a2.
?1② 当n为奇数时，nan?a； ?a(a?0) ③ 当n为偶数时，nan?_______＝ ???a(a?0)2．指数： (1) 规定： ① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ a? n a m (a ? 0, m . (2) 运算性质： rsr?s(a① a?a? a ? 0 , (a>0, r、s?Q) rsr?s② (a)? a ( a ? 0 , (a>0, r、s?Q) rrr0,b?0,r③ (a?b)? a ? b (a ? (a>0, r、s?Q) mn1，∴原式=3. 9（2）方法一 化去负指数后解. 11a?b??1?1a?bab?ab?a?b.∵a=1,b?9,∴a+b=82. ??11199(ab)abab方法二 利用运算性质解. a?1?b?1a?1b?111??1?1??1?1??1??1?b?a. ?1(ab)ababba182∵a=,b?9,∴a+b=. 99 变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）(a?b)?a?b?1623?121213a?b5; 注：上述性质对r、s?R均适用. 3．指数函数： 211?513?2?3232?1（2）a?b?(?3ab)?(4a?b). 6?13121213① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像： 1) 过点 ，图象在 ；2) 指数解：（1）原式=ab?abab1656?a111???326?b2115??36?a0?b0?1.
（=-2）原式
11333???5?15?15?1515ab6?336?33222ab?(2a·b)??ab?(ab)??a?b2?????. 2444ab34ab2例2. 函数f(x)=x-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则
0?a?1函数以 为渐近线(当时，图象向 xxf(b)与f(c)的大小关系是 （ ） 无限接近x轴，当a?1时，图象向 无限接近xxxxxA.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c) x?xxx轴)；3)函数y?a与y?a的图象关于 对C.f(b)＞f(c) D.大小关系随x的不同而不同 称. ③ 函数值的变化特征： 解：A 11变式训练2：已知实数a、b满足等式()a?()b， 2320?a?1 ① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时
a?1 ① x?0时 下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0; ③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式② x?0时 有 （ ） ③ x?0时 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：B 例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： 3典型例题 3371例1. 已知a=,b=9.求： （1）a2a?3?9a?8?a15; x2?5x?4（1）f(x)=3; a?1?b?1（2）. (ab)?1 9 11（2）（2）g(x)=-()x?4()x?5. 42 解：（1）依题意x-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 2变式训练3：求下列函数的单调递增区间： 1（1）y=()6?x?2x;(2)y=2x?x?6. 22259令u=x2?5x?4?(x?)2?,24 ∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u≥0，即x2?5x?4≥0， 2x?5x?4≥30=1, 而f(x)=3解：（1）函数的定义域为R. 12令u=6+x-2x,则y=()u. 2∵二次函数u=6+x-2x的对称轴为x=在区间［∴函数f(x)的值域是［1，+∞）. 21, 412，+∞）上，u=6+x-2x是减函数， 459∵u=(x?)2?,∴当x∈（-∞，1］时， 24u是减函数， 当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1, ∴由复合函数的单调性可知， f（x）=3x2?5x?41u又函数y=()是减函数， 211∴函数y=()6?x?2x在［，+∞）上是增函数. 24211故y=()6?x?2x单调递增区间为［，+∞）. 242在（-∞，1］上是减函数，（2）令u=x-x-6,则y=2, ∵二次函数u=x-x-6的对称轴是x=22u1, 2在［4，+∞）上是增函数. 故f（x）的增区间是［4，+∞）， 减区间是（-∞，1］. 1111（2）由g(x)=-()x?4()x?5??()2x?4()x?5,42221x∴函数的定义域为R，令t=() (t＞0), 2在区间［12，+∞）上u=x-x-6是增函数. 2u又函数y=2为增函数， ∴函数y=2x?x?6在区间［221，+∞）上是增函数. 21，+∞）. 2故函数y=2x?x?6的单调递增区间是［∴g(t)=-t+4t+5=-(t-2)+9, ∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)+9≤9, 等号成立的条件是t=2, 1即g(x)≤9,等号成立的条件是()x=2， 2222exa例4．设a＞0,f(x)=?x是R上的偶函数. ae（1）求a的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. （1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）e?xaexa???x, =f（x），∴ae?xae11∴（a-)(ex?x)=0对一切x均成立， ae即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］. 12由g(t)=-(t-2)+9 (t＞0),而t=()x是减函数，2∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间. ∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，1由0＜t=()x≤2,可得x≥-1, 21由t=()x≥2,可得x≤-1. 2∴a-1=0，而a＞0,∴a=1. a（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 则f(x1)-f(x2)=e +x111-ex-x xee212=(ex?ex) (211e1x1?x2?1). 221∴g（x）在［-1，+∞）上递减， 在（-∞，-1］上递增， 故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］， 单调递减区间是［-1，+∞）. 10 ∵x1＜x2,∴ex?ex,有ex?ex?0. ∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴ex?x＞1, 121ex1?x2-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2), 故f(x)在（0,+∞）上是增函数. 变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小④ 对数恒等式：alogaN? N． x正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=24x?1. (3) 运算性质： ① loga(MN)＝___________________________； （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； ② logaM（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. N＝____________________________； （1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1). ③ lognaM＝ (n∈R). ∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，2?x2x=-4?x?1??4x?1. m≠1，N>0) f(0)=f(-0)=-f(0)，且⑤ lognamb?n由 .mab f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1), 2．对数函数： 得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有① 定义：函数 称为对数函??2x4x?x?(0,1)数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域?1xf（x）=???2x?(?1,0) 为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______?4x?1?时为增函数； ?0x???1,0,1??2x4) 函数y?logax与函数 y?ax(a?0,且a?1)互(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=4x?1. 为反函数. 设0＜x1＜x2＜1, ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；则2) 对数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图122112)-f(x2x2x(2x?2x)(2x?xf(x?1)12)=4x1?1?4x2?1?(4x1?1)(4x2?1), 象向上无限接近y轴；当a?1时，图象向下无限接近y轴)； ∵0＜xx1＜x2＜1,∴2x2?2x1＞0，21?x2-1＞0, 4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称． ∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2), ③ 函数值的变化特征： 故f(x)在（0，1）上单调递减. 0?a?1 a?1 第6课时 对数函数 ① x?1时 ① x?1时 ② x?1时 ② x?1时 1．对数： ③ 0?x?1时 ③ 0?x?1时 (1) 定义：如果ab?N(a?0,且a?1)，那么称 例1 计算：（1）log2?3(2?3) 为 ，记作 ，其中a称为对数（2）2(lg2)2+lg2·lg5+(lg2)2?lg2?1;
的底，N称为真数. 1① 以10为底的对数称为常用对数，log10N（3）32记作2lg49-43lg8+lg245. ___________． 解：（1）方法一 利用对数定义求值 ② 以无理数e(e?2.71828?)为底的对数称为自然设logx2?3(2?3)=x,则(2+3)=2-3=12?3=对数，logeN记作_________． （2+3）-1,∴x=-1. (2) 基本性质： 方法二 利用对数的运算性质求解 ① 真数N为 (负数和零无对数)；② log2?3(2?3)=log2?3 1log；③ 2?3=log-12?3(2+3)=-1.a1? 0logaa? 1；
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过关
（2）原式=lg2（2lg2+lg5）变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则11+(lg2)2?2lg2?1=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1| loga,logab,logb的大小关系是 （ ） bb=lg2+(1-lg2)=1. 1141（3）原式=（lg32-lg49）-lg82+lg245 232A.loga11?logab?logbbb B.logab?logaC.logab?logbD.logb===1431 (5lg2-2lg7)-×lg2+ (2lg7+lg5) 22325111lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 2222111lg(2×5)= lg10=. 22211?logb bb11?loga bb11?loga?logab bb解： C 例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于 任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a的取值范围. 变式训练1：化简求值. （1）log217+log212-log242-1; 2482（2）(lg2)+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解=log2：(1)+log212-log24232解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
原所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax 式在［3，+∞）上为增函数， -log22=log2∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. 7487?1248?42?2?log2122?log22?3??. 2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
lg2lg2lg3lg33lg25lg35（3）原式=(?)·(?)?·?. lg32lg32lg23lg22lg36lg24∴|f(x)|=-f(x). 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. 26与log5;（2）log1.10.7与log1.20.7; 35∴对于任意x∈［3，+∞）都有 （3）已知log1b＜log1a＜log1c, |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 222比较2,2,2的大小关系. 解：（1）∵log3∴log326＜log31=0,而log5＞log51=0, 35bac因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立， 只要-loga3≥1成立即可， ∴loga3≤-1=loga111,即≤3,∴≤a＜1. a3a26＜log5. 35综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立 的a的取值范围是：(1，3］∪［1，1）. 32(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞log0.71.1?log0.71.2, ∴1log0.71.1?1log0.71.2, 变式训练3：已知函数f（x）=log2(x-ax-a)在区间 （-∞,1-3］上是单调递减函数. 求实数a的取值范围. 2即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象. 解：令g(x)=x-ax-a, 如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7. a2a2(3)∵y=log1x为减函数，且log1b?log1a?log1c, 则g(x)=（x-2）-a-4,由以上知g(x）的 2222∴b＞a＞c,而y=2是增函数，∴2＞2＞2.
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xbac图象关于直线x=a对称且此抛物线开口向上. 2
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