课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应用举例

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课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积与平面向量应

用举例

一、专练高考真题

1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 C．1

B．0 D．2

解析：选C 法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，a·b＝－3，

从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.

????2．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB????????????＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝( )

A．5 C．3

B．4 D．2

????????????解析：选A 由四边形ABCD是平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(3，－1)，故????????AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.

3．(2015·重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )

π

A. 32πC. 3

π B. 25π D. 6

解析：选C ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， ∴2|a|2＋a·b＝0，

即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.

∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0， 12π∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝. 23

4．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

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C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以当a·b＝|a||b|时，有cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0°，此时a，b同向，所以a∥b.反过来，当a∥b时，若a，b反向，则〈a，b〉＝180°，a·b＝－|a||b|；若a，b同向，则〈a，b〉＝0°，a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．

????????5．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( )

A．|b|＝1

B．a⊥b

????C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC

????????????解析：选D 在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，

????所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，BC＝(4a＋b)·

????所以(4a＋b)⊥BC，故选D.

6．(2014·浙江高考)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.( )

A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定

解析：选B |b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2. 因为|b＋ta|min＝1，

4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1. 24|a|所以|b|2sin2 θ＝1，所以|b|sin θ＝1，即|b|＝即θ确定，|b|唯一确定．

1. sin θ

????????????????????OB＝________. 7．(2015·湖北高考)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·

????????????????????????????????????2

OB－OA＝0，所解析：因为OA⊥AB，所以OA·AB＝OA·(OB－OA)＝OA·

????????????2????2????????OB＝OA＝|OA|＝9，即OA·OB＝9. 以OA·

答案：9

8．(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.

????2????????1????????????点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为

36

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________．

????????解析：取BA，BC为一组基底， ????????????2????????则AE＝BE－BA＝BC－BA，

3

????????????????????????5?????????7???AF＝AB＋BC＋CF＝－BA＋BC＋12BA＝－12BA＋BC，

??????????????2???????7???????∴AE·AF＝?3BCBA ?·?－12BA＋BC?

?225????????2????2

7???＝|BA|－BA·BC＋3|BC| 1218

＝

72512×4－×2×1×＋ 121823

29＝. 1829

答案：

18

二、专练经典模拟

1．(2016·兰州诊断)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( ) A．0 C．2

B．1 D.5

解析：选D 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝5，故选D. 2．(2016·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( ) πA. 2πC. 4

π B. 3π D. 6

a·b31

＝＝，|a||b|1×62

解析：选B a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝π所以〈a，b〉＝. 3

3．(2016·洛阳期末)若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为( )

A．(3，－6) C．(6，－3)

B．(－3,6) D．(－6,3)

解析：选A 由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.

????????????????????4．(2016·银川调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，

则该四边形一定是( )

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A．直角梯形 C．菱形

B．矩形 D．正方形

????????????????????解析：选C 由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB－AD)·AC????????＝0得DB·AC＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.

5．(2016·长春调研)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为( )

3

A．－

111C. 2

11

B．－ 33 D.

5

解析：选A b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝30，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－，故选A.

11

????????????6．(2016·东北三校联考)已知△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的

????中点，则|AD|等于( )

A．6 C．4

B．5 D．3

????1????????????????????????解析：选D 由题知AD＝(AB＋AC)，AB·AC＝－16，∴|AB|·|AC|cos∠BAC

2

＝－16.

在△ABC中，由余弦定理得，

????2????2????2????????|BC|＝|AB|＋|AC|－2|AB||AC|cos∠BAC，

????2????2????2????22

∴10＝|AB|＋|AC|＋32，|AB|＋|AC|＝68， ????21????2????2????????1????∴|AD|＝(AB＋AC＋2AB·AC)＝(68－32)＝9，∴|AD|＝3，故选D.

44????????????7．(2016·金华调研)在△ABC中，A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( )

A.2 C.6

B．2 D．6

????????解析：选C 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为AB·AC＝－1，所以bccos 120°

＝－1，即bc＝2，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos 120°＝b2＋c2＋bc≥3bc

????＝6，当且仅当b＝c＝2时等号成立．所以a≥6，即|BC|的最小值是6.

????????????8．(2016·西安考前检测)若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝????????0，则CA在CB方向上的投影为( )

A．4

B.15