活页作业 3

活页作业(三) 四种命题间的相互关系

1．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的等价命题是( ) A．如果x

解析：等价命题即为原命题的逆否命题．故选C. 答案：C

2．下列结论错误的是( )

A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题 B．对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有 C．命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真 D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真

解析：对A，由互为逆否命题概念知正确；对B，由四种命题的等价关系可知，正确；对C，由直棱柱概念可知正确；对D，当m＝0时逆命题为假，综上可知选D.

答案：D

3．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”；对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为( )

A．0 C．2

B．1 D．4

解析：因为原命题为假，故逆否命题为假，逆命题为假，故否命题为假，所以选A. 答案：A

4．给定下列命题：

①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根； ②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题； ③“菱形的对角线垂直”的逆命题． 其中真命题的序号是________．

解析：①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以是真命题． ②否命题：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题． ③逆命题：“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题． 答案：①②

5．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为________，

是________命题(填真、假)．

解析：命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为“已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0”，是真命题．

答案：已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真

6．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 证明：假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数， ∴f(a)

又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.

即原命题的逆否命题为真，故原命题为真． ∴a＋b≥0.

7．在命题“若函数f(x)是偶函数，则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题，否命题，逆否命题中结论成立的是( )

A．它们都为真命题 B．它们都为假命题

C．否命题为假命题，逆命题为真命题 D．逆否命题为假命题

解析：因为f(x)是偶函数，与f(x)的图象关于y轴对称是等价的．故四种命题均为真命题．

答案：A

an＋an＋1＋

8．原命题为“若＜an，n∈N，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，

2逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A．真，真，真 C．真，真，假

B．假，假，真 D．假，假，假

an＋an＋1

解析：从原命题的真假入手，由于＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列，即原命题

2和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题．选A.

答案：A

9．有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2<4，则－2

解析：①原命题的否命题为：“若a≤b, 则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为：“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．

答案：②③

10．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.

解析：原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a1b2－a2b1

＝0，则两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.

答案：2

11．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．

解：方程x2＋mx＋1＝0有实数根， 所以Δ1＝m2－4≥0， 所以p：m≥2或m≤－2；

方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根， 所以Δ2＝16(m－2)2－16＜0， 所以q：1＜m＜3；

??m≥2或m≤－2，

①p真q假：所以?

?m≥3或m≤1，?

所以m≥3或m≤－2. ②p假q真：

??－2＜m＜2，

所以?所以1＜m＜2.

?1＜m＜3，?

所以实数m的取值范围为1

12．有甲、乙、丙三个人，命题p：“如果乙的年龄不是最大，那么甲的年龄最小”和命题q：“如果丙不是年龄最小，那么甲的年龄最大”都是真命题，则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定？请说明理由．

解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为a，b，c，显然命题p和q的结论是矛盾的，因此

应从它的逆否命题来看．

由命题p可知，乙不是最大时，则甲最小． 所以丙最大，即c>b>a，而它的逆否命题也为真． 即“甲不是最小，则乙最大”，为真，

所以b>a>c，同理由命题q及其逆否命题为真可得：a>c>b或b>a>c， 又命题p与q均为真，可得b>a>c.

故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是：乙大，甲次之，丙最小．