第一章-行-列-式---实验教学示范中心

D?a11a21?an1a12?a22??an2?a1na2n?ann?0.

则方程组有且仅有唯一解

D1DD,x2?2,?,xn?n. DDD这里Di是把D的第i列元素a1i,a2i,?,ani换成方程组（1）的常数项b1,b2,?,bn得到的行

x1?列式.

证

Dx1?a11x1a21x1?an1x1a12a22?an2???a1na2n?ann

a11x1?a12x2???a1nxnc1?xjcj(j?2,3,?,n)a12?a1na22?a2n??an2?ann

a21x1?a22x2???a2nxn?an1x1?an2x2???annxna12a22???a1na2n?ann?b1b2??bnan2?D1.

可类似推得 Dxi?Di,当D≠0时，有

(i?2,L,n),

DD1D,x2?2,?,xn?n. （2） DDD这就证明了：线性方程组（1）当D≠0时，如果有解，那么就只是（2）式.

x1?现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明

D1DD?ai22???ainn?bi,(i?1,2,,?,n)， DDD即 ai1D1?ai2D2???ainDn?biD.

考虑有两行相同的n?1阶行列式

biai1Lainai1b1B?b2a11La21La1na2n?0,Mann(i?1,2,L,n),

MMbnan1L按第一行展开. 由于第一行第j?1列的元素aij的代数余子式为

b1A1j?1???1?1?j?1a11La1j?1a1j?1La1na2n, Mannb2a21LMMbnan1La2j?1a2j?1LMManj?1anj?1L把A1j?1的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列互换，有

A1j?1?(?1)2?j?(?1)j?1Dj??Dj,

所以有

biD?ai1D1???ainDn?0,这就表明了（2）式就是方程组（1）的解. 学生总结用克莱姆法则解线性方程组的步骤：

例1 解线性方程组

(i?1,2,?,n).

?x1?x2?x3?2x4?2?2x?x3?4x4?4?1 ?3x?2x?x??123?1???x1?2x2?x3?2x4??4解 计算系数行列式

1?11?220?14r4?r1D?3210?12?121?11?220?1432100100

11?2?20?2按r42?14＝504＝?2?0展开3103102D1?4?1?423?1所以有唯一解

?1220221?2402?2402＝0 D4?1?124?1?4＝?2， D2＝123?123?124?11?2?111140224?1??1 ＝4

0?1?4?10?1221?1D3＝1?1?1?4x1?D1?2??1,D?2x2?D24???2 D?2x3?D30??0,D?2x4?D4?11?? D?22推论 若已知方程组（1）无解，或解并非唯一，则其系数行列式D=0.

二、克莱姆法则的推论

如果方程组（1）的常数项b1?b2???bn?0，即

?a11x1?a12x2?L?a1nxn?0，?ax?ax?L?ax?0，?2112222nn ? （3）

?LLLLLLLLL??an1x1?an2x2?L?annxn?0.称为齐次线性方程组.

显然，x1?0,x2?0,?,xn?0是方程组（3）的解，称为方程组（3）的零解. 如果方程组（3）除零解外，还有不全为零的x1,x2,?,xn为其解，这种解称为方程组（3）的非零解.

由克莱姆法则，可得出下面两个推论：

推论1 齐次方程组（3），当其系数行列式D?0时，其只有零解. 推论2 若齐次线性方程组（3）有非零解，则其系数行列式D=0. 例2 问?,?为何值时，齐次线性方程组

??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0 ??x?2?x?x?023?1有非零解？

解 要其有非零解，则系数行列式D = 0，而

?D?11??11?2?0r1?r3??11?2??10??0???????1?

r?r0??2?12312?111因为 ??1,??0时D?0

所以 ??1,??0时，方程组有非零解

练习 k为何值时方程组有非零解

kx1?x4?0k0??12x1?2x2?x4?0? ? D?k?2?1??k?2x?x?4x?0124??21?2x1?x2?3x3?kx4?0

00314k????3?5k?5?

0?1小结：本次课我们学习了用克莱姆法则解线性方程组和齐次线性方程组 作业：P24～25 习题一 8(1)～(3)、9