3-2同角三角函数的基本关系及诱导公式

37

解得sinα＋cosα＝，两边平方得2sinαcosα＝－ 4162sin2α＋sin2α2sin2α＋2sinαcosα

∴＝

sinα1＋tanα1＋cosα＝2sinαcosα＝－

7. 16

8．(文)(2010·北京东城区模拟)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，

?3π?

?sinα)，α∈π，2?，且a⊥b. ??

(1)求sinα的值；

?π??(2)求tanα＋4?的值． ??

[解析] (1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b. ∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0. 1

∴cosα＝sinα.

2

4

∵sinα＋cosα＝1，∴sinα＝. 5

2

2

2

?3π?25??π，∵α∈2?，∴sinα＝－5. ?

(2)由(1)可得cosα＝－

5

，则tanα＝2. 5

?π?tanα＋1tan?α＋4?＝＝－3. ??1－tanα

(理)已知向量m＝(－1，cosωx＋3sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，3

其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为π.

2

(1)求ω的值；

?3π?23

(2)设α是第一象限角，且f?2α＋2?＝，求的值．

??26cos?4π＋2α?

?π?

sin?α＋4???

[解析] (1)由题意得m·n＝0，所以， f(x)＝cosωx·(cosωx＋3sinωx)

1＋cos2ωx?π?13sin2ωx

??2ωx＋＝＋＝sin6?＋2， 22?根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π. 1

又ω>0，所以ω＝. 3

?2π?1

(2)由(1)知f(x)＝sin?3x＋6?＋.

??2?3π??π?1

???所以f2α＋2＝sinα＋2?＋ ????2

123＝cosα＋＝，

2265

解得cosα＝，

13

12

因为α是第一象限角，故sinα＝，

13

?π???α＋sin4??

?π?

??α＋sin4??

所以，＝＝ 22cos2αcos?4π＋2α?cosα－sinα21132

＝·＝－. 2cosα－sinα14

错误！未找到引用源。

2

?sinα＋cosα?2

1．(2010·重庆一中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、sinBb、c，且∠A＝2∠B，则等于( )

sin3B

bcbaA.c B.b C.a D.c [答案] A

sinBsinB

[解析] ∵A＝2B，∴＝ sin3Bsin?A＋B?sinBb

＝＝＝c.

sinCsin?π－C?

2．(2010·安徽铜陵一中)在△ABC中，内角A、B、C的对边分7

别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，

3则△ABC的面积为( )

A.

7575 B. C. D. 4422sinB

[答案] A

[解析] ∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac， 773∵tanB＝，∴sinB＝，cosB＝，

344∵a＋c＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝2， 17

∴S△ABC＝acsinB＝.

24

π

3．(2011·石家庄质检)已知x∈(，π)，cos2x＝a，则cosx＝( )

2A.

1－a

B．－2

1－a

2

C.

1＋a

D．－21＋a

2

[答案] D

[解析] a＝cos2x＝2cos2x－1， π

∵x∈(，π)，∴cosx<0，∴cosx＝－

2

a＋1

. 2

2?

π?

4．(2010·北京东城区)函数y＝1－2sin?x－4?是( )

??A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 π

C．最小正周期为的偶函数

2π

D．最小正周期为的奇函数

2[答案] B

?π??π?

[解析] y＝1－2sin2?x－4?＝cos2?x－4?

?

?

?

?

?π?

＝cos?2x－2?＝sin2x为奇函数且周期T＝π.

?

?

?π?1?π?

5．已知sin?6－α?＝，则sin?6＋2α?＝______.

??4??

7

[答案] 8

?π??ππ?

[解析] sin?6＋2α?＝cos?2－6－2α?

?????π??π?7

＝cos?3－2α?＝1－2sin2?6－α?＝.

????8

6．(2010·浙江宁波十校)若sin76°＝m，则cos7°＝______.

[答案]

2m＋2

2

[解析] ∵sin76°＝m，∴cos14°＝m，

2

即2cos7°－1＝m，∴cos7°＝

2＋2m

. 2

?2cosπx x≤2000

37．已知函数f(x)＝?

?x－102 x>2000

[答案] －1

，则f[f(2012)]＝________.

[解析] 由

π??2cos3x x≤2000

f(x)＝?

??x－102 x>2000

得，f(2012)＝2012－102

?π?2π2π??＝1910，f(1910)＝2cos3×1910＝2cos(636π＋)＝2cos＝－1，故

33??

f[f(2012)]＝－1.