几何中的蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：

即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

s1as2b

S1︰S2 =a︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的

211×= 346模型二：任意四边形中的比例关系 （我们把它称作蝴蝶定理）

As2BDs1OS3C

S4①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）

模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

as1s2S3bS4

①S1︰S3=a︰b

22

②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;

2

③S的对应份数为（a+b）模型四：相似三角形性质

22

bBhacCHbCahcBHA

A①

abch??? ; ABCH2

2

②S1︰S2=a︰A

二、 例题分析

例1、如图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD?三角形DEF的面积.

AAEFCDB111AB，BE?BC，CF?CA，求234

D

例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，

BEFCE为

AB上的一点，且BE=

1AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 3

例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

例7、（小数报竞赛活动试题）

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB

面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

A9O25BCD

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。