《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案

令E?k?1*?Ek，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)……………5分

?m(E\\E)?m(E\\k?1*Ek)?m(E\\Ek)?1，k=1,2k

所以m(E\\E*)?0………………………………………………8分 5、证明：设en?E[|f|?n],由于

f(x)在E上a.e.有限，故

men?0,(n??)………………………………………………..2分

由积分的绝对连续性，对任何???0,?N，使

N?meN??|f(x)|dx?eN?4………………………………………4分

令BN?E\\eN，在BN上利用鲁津定理，存在闭集FN?BN和在R1上的连续函数?(x)使（1）

x?R14Nsup|?(x)|?sup|f(x)|?N……………………6分

x?FNm(BN\\FN)??;（2）

x?FN时，f(x)??(x)，且

所以

?ba|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dxeNBNeNeNBN\\FN??|f(x)|dx??|?(x)|dx???|f(x)??(x)|dx??

?4?N?meN?2N??4N??4??4??2……………………...8分