椭圆讲义

椭圆（一）

一、椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数2a??F1F2?的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。

★2．a,b,c关系：

c2?a2?b 2x2y2①焦点在x轴上：2?2?1（a＞b＞0）； 焦点F（〒c，0）

aby2x2②焦点在y轴上：2?2?1（a＞b＞0）； 焦点F（0, 〒c）

ab注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

x2y2?1 或者 mx2+ny2=1 ②两种标准方程可用一般形式表示：?mn二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

x2y2 （1）椭圆2?2?1（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

aby2x2 （2）椭圆2?2?1（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

ab 2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。 4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2cc，即称为椭圆的离心率，记作e（0?e?1），2aac2be?2?1?()2

aa2【e?0是圆；e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；】 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

题型一：基础回顾

x2y2例1.方程??1表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是____________。

|m|?12

拓展变式练习

1.与椭圆x2+4y2=16有相同焦点,且过点(5,?6)的椭圆方程是 。

x2y2???1表示椭圆，则k的取值范围 。 2.已知方程

k?53?k3.已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦点在y轴上的椭圆，则?的取值范围 。

题型二：技能拓展

x2y2??1的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，例2.椭圆

169则?F2CD的周长为 。

拓展变式练习

x2y2

1.椭圆＋＝1(m

－m－n

x2y2

2.已知椭圆的标准方程是a2＋25＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________。

x2y2

3.设F1、F2是椭圆9＋4＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________。

x2y2

4.已知椭圆16＋9＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________。

题型三：综合能力提升

例3.已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。

拓展变式练习

1.已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为（0，2）求m的值。

0?，a?3b，求椭圆的标准方程。 2.已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，

3.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。

4525和，过P点作焦点33 高考题库

x2y2（2013甘肃 12分）已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是

ab椭圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）。

一．填空题

x2y2

1.方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________。

25－m16＋mx2y2

2.过点(－3,2)且与椭圆9＋4＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________。

3.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________。