高中数学必修5解三角形的实际应用精选题目(附答案)

68×3MN176

∴MN＝＝346，∴v＝4＝2 n mile/h.

23.解析：选A 如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD3

＝h，则由已知得(80＋h)×3＝h，h＝40(3＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.

4.解析：选A 由题意，知h甲＝20tan 60°＝203(m)， 403

h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝3(m)．

5.解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，CBC10

＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得sin 60°＝sin 45°，解得BC＝56(n mile)．

6.解析：如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.

由余弦定理，得

AC2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC＝7. 则A，C两地的距离为7 km.

7.解析：如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA设CD＝x，所以(x＋DA)·tan 30°＝DA·tan 45°， 2

又DA＝BD·cos 45°＝100×2＝502， 502×1DA·tan 45°

所以x＝tan 30°－DA＝－502

33＝50(6－2)m.

8.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，

则∠AOB＝60°，由正弦定理知：

AB·sin∠ABO10×sin 45°106

x＝＝sin 60°＝3(cm)．

sin∠AOB

＝30°，

9.解：如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A21

＝302×3＝102＝A2B2，

∴△A1A2B2为正三角形， ∴A1B2＝102.

在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，

2

∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×102×2＝200， ∴B1B2＝102，

∴乙船每小时航行302海里．

10.解：设建筑物的高度为h，由题图知， 23PA＝2h，PB＝2h，PC＝3h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理， 602＋2h2－4h2

得cos∠PBA＝，①

2×60×2h4

602＋2h2－3h2

cos∠PBC＝.②

2×60×2h∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③

由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306 m. 巩固练习二：

1.解析：选C 由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°2

120×2

ACsin∠BAC

＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(3－1)(m)．

sin∠ABC6＋2

4

2.解析：选B 在△ABC中，AC＝15 m，AB＝519 m，BC＝10 m， AC2＋BC2－AB2

由余弦定理得cos∠ACB＝

2×AC×BC

152＋102－?519?213＝＝－2，∴sin∠ACB＝2.

2×15×10又∠ACB＋∠ACD＝180°， 3

∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝2.

3153

在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×2＝2 m. 3.解析：选D 设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，

∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(3x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m.

43

4.解析：选A 因为cos θ＝5，0°<θ<45°，所以sin θ＝5，cos(45°－θ)24237272＝2×5＋2×5＝10，在△ABC中，BC2＝(202)2＋102－2×202×10×10285

＝340，所以BC＝285，该货船的船速为1＝485海里/小时．

2

5.解析：由题易知两船相遇之处M位于BC上，如图，设|MC|＝d，

d2＋?252?2±2·d·252cos 45°100±d则2v＝(M位于BC延长v

线上取“＋”，M位于BC上取“－”)，

5 000所以(100±d)2＝4[d2＋(252)2±50d]，即3d2＝1002－5 000，所以d2＝3，即d≈40.8(n mile)．

6.解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝3tv，又B＝120°，则由正弦定理AC131

，得＝，∴sin∠CAB＝sin B2， sin∠CABsin 120°

∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝a n mile，∴AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°

BC

＝

sin∠CAB

＝

?1?

a＋a－2a·?－2?＝3a(n mile)

??

2

2

2

答案：北偏东30° 3a

7.解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°， 则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4， BC4

由正弦定理得sin 45°＝sin 30°，

解得BC＝42(m)．即BC的长为42 m. (2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42， 所以DC＝42sin 75°. 因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝则DC＝2＋23.

所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．

即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.

6＋24，