江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案

江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案

初三年级（第2试）

一、选择题（每小题7分，共42分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.

1、已知整数x,y满足x?2y?50，那么整数对(x,y)的个数是（ D ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

2、方程2x?x2?2x的正根的个数是 （ A ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

3、在直角坐标系中，已知两点A(?8,3)、B(?4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值

（A）?mn23为 （ C ）

（B）?2 （C）?32 （D）?3

4、设一个三角形的三边长为正整数a,n,b，其中b?个数是（ D ）

（A）n （B）n?1 （C）n2n?a。则对于给定的边长n，所有这样的三角形的

12?n （D）n(n?1)

5、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（ C ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

6、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有 （ C ）

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 二、填空题（每题7分，共56分） 7、已知S?x?2?12x?x?2，且?1?x?2，则S的最大值与最小值的差是 1 。

8、已知两个整数a、b，满足0?b?a?10，且

9aa?b是整数，那么数对(a,b)有 7 个。

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9、方程x2?x?2?x?0?x?1?x?1y2?9x2?y2?12xy?9的非负整数解是?，?，?，?.

?y?3?y?3?y?0?y?610、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表）。 Q 1 F 14 换实现：

W 2 G 15 E 3 H 16 R 4 J 17 T 5 K 18 Y 6 L 19 U 7 Z 20 X 21 C 22 V 23 B 24 N 25 M 26 I 8 O 9 P 10 A 11 S 12 D 13 设明文的任一字母对应的自然数为x，译为密文字母后对应的自然数为x?。例如，有一种译码方法按照以下变

x?x?，其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26)。

?1时，x??6，即明文Q译为密文Y； x?10时，x??7，即明文P译为密文U。 现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?：

则xx?x?，x?为(3x?b)被26除所得余数与1之和(1?x?26,1?b?26)。

已知运用此变换，明文H译为密文T，则明文DAY译成密文为

CHQ.

?60?，点P在AB的延长线上，且

11、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，?AOCPB?BO?3cm。连结PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，则PE＝3cm。

12、△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、

b的代数式表示为 c? A

O第11题155(a2?b2). ACDEFrrEOPr

BD第14题C13、设m为整数，且关于x的方程mx2?2(m?5)x?m?4?0有整数根，则m的值为?4,?16,4.

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14、已知△ABC的内切圆半径为r，?A?60，BC三、解答题（每题13分，共52分）

15、对于实数a，只有一个实数值x满足等式 试求所有这样的实数a的和.

解：题中等式可化为

0 ① 2x2?2x?a?4???23则r的取值范围是0?r?1.

x?1x?12x?a?2x2?1x?1x?1???0

当方程①有两个相等的实数根时， ??4?4?2??a?4??0， 由此得a1??72，此时方程①有一个根x??12，验证可知x??12的确满足题中的等式

当方程①有两个不相等的实数根时，?若x?4?4?2?(a?4)?0，由此得a??72

?1是方程①的根，则原方程有增根x?1，代入①解得a2??8，此时方程①的另一个根x??2，

它确也满足题中的等式；

若x则原方程有增根x??1，代入①解得a3??4，此时方程①的另一个根x?0，??1是方程①的根，

验证可知x?0确满足题中的等式；

731因此a1??，a2??8，a3??4即为所求，且a1?a2?a3??.

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16、若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕。

现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的

14.

问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？ （2）参加装卸的有多少名工人？ 解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了时，平均每人干活

x4小时，两人共干活(x?x4)小

x(x?)小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，平均每人干活241x1x的时间也是(x?)小时。 据题设，得(x?)?10，解得x?16（小时）.

2424（2）共有

1y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干(y?1)t小时，按题意，

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?y?2?y?3?y?4?y?5得16?(y?1)t?16?，即(y?1)t?12. 解此不定方程得?，?，?，?，

t?12t?6t?3t?44????1?y?7?y?13，?即参加的人数y?2或3或4或5或7或13. ??t?2?t?1

17、下列4个判断：

（1） 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； （2） 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

（3） 三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； （4） 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。 上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。

解：判断（1）、（2）、（3）、（4）都不正确.

判断（1）的反例：如图（1），在△ABC、△AB?C中，AC＝AC，BC＝B?C，高AH＝AH，但两个三角形不全等.

判断（2）的反例：如图（2），在在△ABC、△ABC?中，AB＝AB，AC＝AC?，高AH＝AH，但两个三角形不全等.

A?B?C?的三边长分别为

A?B??24，A?C??36，B?C??54。由于△ABC与△A?B?C?的对应边成比例，故△ABC∽△A?B?C?，从而它们有5个边角元素分别相等：?A??A?，?B??B?，?C??C?，AC＝A?B?，BC＝A?C?，

判断（3）的反例：设△ABC的三边长分别为AB＝16，AC＝24，BC＝36；△但它们不全等.

判断（4）的反例：如图（3），在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作?BAF中4个判断都不正确.

18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分。最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为c1，c2，…，c12，且c1??BAC，

延长BC、FA交于点C?，则高BF＝BE，AD＝AD，又AB＝AB，但△ABC与△ABC?不全等。 综上所述，题

?c2?…?c12，求c1的最大值。

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