高等代数第六章

高等代数第六章——线性空间测试题

一、填空题

（1） 已知R3的两组基Ⅰ?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)； Ⅱ?1?(1,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,0)

那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为 。

2?2（2）在P中，已知A1???11??，A2???0?10??，A3????????11??11??11??10???，是A4?????0??00??12?P2?2的基，那么，A???34??在该基下的坐标为 。

???x1?x2?x3?x4?0（3）设W1是方程组x1?x2?x3?x4?0解空间，W2是方程组??x1?x2?x3?x4?0那么W1∩W2是方程组 的解空间。

（4）设W1??L?1,1,0?,?1,0,1??,W2?L??0,1,1?,?1,2,3?? dim?W1?W2?? 。 （5）设W1、且W1+W2为直和，那么dim?W1?W2?? 。 W2都是V的子空间，

??00a??????3?3c0a,b,c?R(6) 已知V??a?b是R的一个子空间，则维（V）＝ ， ?????0?c?b0?????V的一组基是____________.

(7) 已知a是数域P中的一个固定的数，而

W?{(a,x1,?,xn)xi?P,i?1,2,?,n}

是P的一个子空间，则a＝__________，而维(W)＝__________. (8) 设P是数域P上的n维列向量空间，A?Pnnn?n且A2?A,记

W1?{AXX?P},W2?{XX?Pn,AX?0},

1

W2都是P的子空间，则W1、且W1＋W2＝____________，W1?W2＝____________. (9) 设?1,?2,?3是线性空间V的一组基，??x1?1?x2?2?x3?3，则由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵T＝__________，而?在基?1,?2,?3下的坐标是__________. (10) 有限维空间维数公式

。

n二、判断题：

（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（ ） （2）实数域R上的全体n级可逆矩阵做成Pn?n的子空间。（ ）

（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（ ） （4）线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（ ）

（5）在子空间的和W1+W2中，如果0??1??2(?1?w1,?2?w2)，且这种表示形式唯一，那么W1+W2为直和。（ ） (6) 设V?Pn?nn?n，则W?{AA?P,A?0}是V的子空间.( )

(7) 已知V?{(a?bi,c?di)a,b,c,d?R}为R上的线性空间，则维(V）＝2.( ) (8) 设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组

?1,?2,?,?s线性表出，则维(W)＝s.( )

(9) 设A,B?Pn?n?A?V，是??X?0的解空间，V1是AX?0的解空间，V?B?2

是

(A?B)X?0的解空间，则V?V1?V2.

(10)设W是线性空间V的子空间，如果?,??V,但??W且??W,则必有

????W. ( )

2

三、在P2?2中，G1?11? ?1a??11??a1??G?????G?,G?,???,4?1a???11?2?11?3?a1?????????当a为何值时，G1,G2,G3,G4线性相关？ 当a为何值时，G1,G2,G3,G4线性无关？

三、计算题

1、 在线性空间P2?2中，

?12???11??2?1??1?1?A1??,A?,B?,B??2??1??2??

?10??11??01??37?1） 求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基. 2） 求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基.

2、在线性空间P中，求由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，并求

4??(1,4,2,3)在基?1,?2,?3,?4下的坐标，其中

?1?(1,0,0,0),?2?(4,1,0,0),?3?(?3,2,1,0),?4?(2,?3,2,1)

?1?(1,1,8,3),?2?(0,3,7,2),?3?(1,1,6,2),?4?(?1,4,?1,?1).

3、设P[x]3?ao?a1x?a2x2|ao,a1,a2?P?

（1）证明1，x?1,x?1是P[x]3的基，并求由该基到基x,x,1的过渡矩阵。 （2）求f(x)?1?x?x在基1，x?1,x?1下的坐标。

4、设W1?L(?1,?2),?1?(1,1,0),?2?(0,1,1，W2是齐次方程x1?x2?x3?0的解空间，求W1+W2，W1?W2的一组基和维数。

2222?四、证明题

1、 V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

3

W1?{f(x)f(x)?V,f(x)?f(?x)},W2?{f(x)f(x)?V,f(x)??f(?x)}

证明：W1、W2皆为V的子空间，且V?W1?W2.

2、设A2?A,W1是AX?0的解空间，W2是 (A?E)X?0的解空间，证明：

Wn1?W2?P。

3、设W??(a,a?b,a?b)|a,b?R?证明：

（1）W关于R3中的向量的加法和数乘运算做成R上的线性空间。 （2）W?R2。

4