动点型问题

∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK， 在Rt△ONK中，sin∠NOK=NKNK， ?ON2∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大， ∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小， ①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD， ∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2）， ②当MN=DC=2时，MN最小， ∴ON=MN=OM， ∴∠NOM=60°， S扇形MON最小=∴2π（cm2）， 32π≤S扇形MON≤π． 3故答案为：30°． 8．（2013?重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°． （1）求△AED的周长； （2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=6． 在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°， ∴AE=AD?cos30°=33，DE=AD?sin30°=3， ∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．

（2）在△AED向右平移的过程中： （I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK． ∵DD0=2t，∴ND0=DD0?sin30°=t，NK=ND0?tan30°=3t， ∴S=S△D0NK=3211ND0?NK=t?3t=t； 222（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN． ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t， ∴A0N=31A0B=6-t，NK=A0N?tan30°=（6-t）． 323323311×3×33-×（6-t）×（6-t）=-t+23t-； 36222∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN． ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C， ∴A0N=1A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B?cos30°=3（6-t）； 21 [t+（2t-6）]? 231?（12-2t）?（12-2t）32易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6， S=S梯形BND0I-S△BKJ=3（6-t）-

=-1332t+203t-423． 6综上所述，S与t之间的函数关系式为： ?32?t(0?t?1.5)?2?33?32S=S??-t?23t-(1.5?t?4.5)． 2?6?1332t?203t-423(4.5?t?6)?-6?? （3）存在α，使△BPQ为等腰三角形． 理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC， 故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形． （I）当QB=QP时（如答图4）， 则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°， 即∠BCB1=30°， ∴α=30°； （II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C， 若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5）， ∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°， 即∠BCB1=75°， ∴α=75°． 9．（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；

若不存在，请说明理由． 9．解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得AC2?BC2=5cm． （1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，解得t=APAM5?2t4?t，即， ??ACAB453； 2AMAP4?t5?2t，即， ??ACAB45②当△APM∽△ABC时，解得t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当t=3时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似； 2 （2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， PHBPPH2t，即??， ACBA458∴PH=t， 5∴∴S=S△ABC-S△BPH， =118×3×4-×（3-t）?t， 225