§1.3.2 双层玻璃的功效问题

1.3.2 双层玻璃的功效问题

北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。 模型准备

本问题与热量的传播形式、温度有关。检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是热传导物理定律:

厚度为d的均匀介质,两侧温度差为?T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与?T成正比,与d成反比,即:

Q=k ?T/d

k为热传导系数。

模型假设(根据上定律做假设)

1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)

2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数) 3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)

模型构成

引入图1-2，其中的符号表示: d:玻璃厚度 T1:室内温度, T2:室外温度

Ta:靠近内层玻璃温度,

T2:靠近外层玻璃的温度 图1-2 L:玻璃之间的距离 k1:玻璃热传导系数 k2:空气热传导系数

L T1 T2

对中间有缝隙的双层玻璃，由热量守恒定律有

穿过内层玻璃的热量=穿过中间空气层的热量=穿过外层玻璃的热量 根据热传导物理定律，得

T-TT-TT-TQ?k11a?k2ab?k1b2dLd

消去不方便测量的Ta ,Tb,有

Q?k1T1-T2,d(s?2)ks?h1,k2h?Ld

对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层玻璃,根据热传导物理定律，有

T-TQ??k1122d

而

Q2??Q?Q?Q?s?2

此式说明双层玻璃比单层玻璃保温。 为得定量结果,考虑的s的值,查资料有 常用玻璃: k1=4?10-3 ~ 8?10-3 (焦耳/厘米.秒.度) 静止的干燥空气: k2=2.5?10 - 4 (焦耳/厘米.秒.度) 若取最保守的估计,有

k1?16,k2

Q1L?,h?Q?8h?1d

图1-3

由于 Q/Q?可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效, 在最保守的估计下，

它是h的函数。下面从图形考察它的取值情况。

从图1-3中可知此函数无极小值,且当h从0变大时,Q/Q? 迅速下降,但h超过4后下降变慢。从节约材料方面考虑，h不易选择过大,以免浪费材料。如果取h?4,有

Q/Q??3%

此说明在最保守的估计下，玻璃之间的距离约为玻璃厚度4倍时，双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达97%。

简评: 问题2给出的启示是：对于不太熟悉的问题，可以用根据实际问题涉及的概念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给出。此外，本题对减少热量损失功效的处理给我指出了怎样处理没有极值的求极值问题的一个解决方法。