3.1任意角的弧度制及任意角的三角函数

3.1任意角的弧度制及任意角的三角函数

考点1 角的概念 考点诠释 1、 角的定义

角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角?的顶点；旋转开始时的射线叫做角?的始边；旋转终止时的射线叫做角?的终边。 2、 正角、负角和零角

按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角。 3、 象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就把这个角称作第几象限角。

??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k???

第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k??

轴线角定义：角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在坐标轴上，就称这个角是轴线角。这时这个角不属于任何象限。 轴线角的集合（形式不唯一）：

??终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???

终边在x轴上的角的集合为???k?180,k??

注意：象限角与轴线角的集合的表示形式并不唯一，还有其它的表示形式。 4、 终边相同的角

一般地，设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α 本身组成一个集合，这个集合可

?记为：S??????k?360,k?Z。当K=0时，旋转出的角就是α本身。

??注

(1) α为任意角。

（2）α与k?360?之间是“+”号，k?360-α可理解为k?360+（-α）

（3）相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等。终边相同的角有无数个，他们相差360的整数倍。

（4）k?Z这个条件不可缺少。

???5、

??n?N?的象限的确定 n?一般地，要确定

??n?N?所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分的射线，n?他们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是?为第几象限角时，边落在的区域，题型建构

考题1-1 （1）如果角?是第三象限角，那么角??,2?的终边落在何处？ （2）写出终边在直线y?3x上的角的集合

（3）若角?的终边与135角的终边相同，求在0,360内终边与变式1-1 如果角?是第二象限角，那么角??,0??n?N?终

n???n?N?所在的象限就可以直观的看出来。 n??00??角的终边相同的角。 3?的终边落在何处？ 2变式1-2 下列命题正确的是（ ）

A.终边相同的角一定相同 B.第一象限的角都是锐角 C.锐角都是第一象限的角 D.小于90的角都是锐角

考点2 弧度制 考点诠释

1、角的弧度制

回顾：以前我们把圆周360°等分，则其中一份所对应的圆心角为1°这种用度来度量角的制度叫做角度制。角度制规定60分等于1°，60秒等于1分。

现在，我们引入一个度量角的新方式------弧度制。弧度制是根据圆心角，弧长，半径之间的某种关系引入的。

(1) 单位是 rad，读作“弧度”；

(2) 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度角； (3) 圆心角所对的弧长与半径的比值，为该圆心角的弧度数，即

0L?? R(4) 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。 (5) 用弧度制表示终边相同的角??|??2k???,k?Z?（同一个代数式中，角度制与弧度制不能同时出现） 2、角度制与弧度制的转化

（1）用“度”作为单位度量角时，“度”（即“。”）不能省略；用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字（即rad）通常省略不写。例如：sin4?sin(4rad) （2）角度制与弧度制的互化公式

oo①角化弧度：180??rad 360?2?rad 1?0?180rad?0.01745rad

②弧度化角：??180 1??o?180???57.3 ???③重点掌握特殊角的弧度数 3.弧长公式、扇形面积公式 （1）扇形的弧长及面积公式

若扇形的圆心角为?（?为弧度制），半径为R,弧长为L,面积为S，则有

L?R?, S?题型建构

11LR??R2 220考题2-1 （1）若两个角的差为1弧度，它们的和为1，求这两个角的大小分别为（ ） （2）已知一扇形的周长为C（C>0），当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？并求出这

个最大值。

变式2-1 解答下列各题：

（1） 已知扇形的周长为10cm，面积为4cm，求扇形圆心角的弧度数； （2） 已知一扇形的圆心角是72，半径等于20cm，求扇形的面积。 考点3 任意角的三角函数 考点诠释

1、任意角的三角函数的定义

y20PrAy1）锐角三角函数：

在初中，我们学习了锐角三角函数，一般都是在直角三角形当中研究三角函数，那么在高中，我们要把三角函数的概念推广到任意角的三角函数！ OM=x，MP=y

αOXMxOP?r?x2?y2?0

根据锐角三角函数的定义得到：

sin??yxyx,cos??,tan??,cot?? rrxy即?的三角函数可理解为坐标的比值，在此意义下对任意角?都可定义其三角函数。

设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是

OP?r?x2?y2?0，则有：

sin??yxyx,cos??,tan??,cot??， rrxy正割sec??rr 余割csc?? xy2）三角函数的定义域： 三角函数 sinα cosα tanα 定义域 R R ??????k??,k?Z?? 2?? cotα ????k?,k?Z? tan???sin?,当??时，cos??0，所以tan?没有意义。

2cos?2、三角函数在各个象限里的符号

角的sin值主要看y轴的正负，cos值主要看x轴的正负，那么tan值主要分象限看 终边相同的同名三角函数值的关系：终边相同的角的同一三角函数值相等！ sin cos tan

+ + - + - +

- - - + + -

sin??k?360o?sin??k?Z? cos??k?36o0?co?s?k?Z? tan??k?360o?tan??k?Z?

说明：1.运用公式时， k∈z不能省略！

2．??k?360o,k?Z表示任意与α终边相同的角。

3．此公式表明求任意角的三角函数值的问题，可以转化为求0°～360°(0～2π)间角的三角函

数值的问题。 题型建构

考题3-1 已知角?的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴。若角?终边经过点

??????P?3,y,且sin??

??3y?y?0?,判断角?所在的象限，并求cos?,tan?的值。 4变式3-1 角?的终边上一点P?4t,?3t??t?0?，求2sin??cos?的值 变式3-2 解答下列问题

（1） 若?在第四象限，试判断sin?cos???cos?sin??的符号；

（2） 若tan?cos???cot?sin???0，试指出角?终边所在象限，并用图形表示出范围。

考点4 单位圆中的三角函数线 考点诠释

1、单位圆与三角函数线（数形结合的思想方法） （1）单位圆与正射影

①把半径为1的圆叫做单位圆。

②设角?(????POA)的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于P,过P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点M,N分别是点P在x轴，y轴上的正射影（简称射影）。 （2）三角函数线

单位圆中规定了方向的线段MP、OM分别叫做角?的正弦线、余弦线。 即sin??y?MP,cos??x?OM

正切线：过点A?1,0?作单位圆的切线，则此切线与半径OA垂直，得

?的取值2y POTMA x tan??yMPAT???AT（我们把规定了方向的线段AT叫作角?的正切线） xOMOA（3）三角函数线的应用 题型建构

考题4-1 在单位圆中画出适合下列条件的角?终边的范围，并由此写出角?的集合； （1）sin??13 （2）cos??

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变式4-1 求出下列函数的定义域

y?lg?2sinx?1???tanx?1

?x??cos????28?