2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第24讲 - 三角不等式 - 图文

第四讲 三角不等式

含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．

A类例题 例1 已知?、?为锐角，且x(?????2)?0，求证对一切x?0，有(cos?)x?(sin?)x

分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数与sin?的大小，而函数

f(x)?x?f(x)?x?的单调性，因此首先应比较cos?的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．

?2证明 （1）若x>0，则?0?cos??sin??1，又

???，则

?2???x?2???0，由正弦函数的单调性，得0?sin(?2??)?sin??1，即

x>0，故有(cos?)x????(sin?)．

?2（2）若x<0，则?0?sin??co?s??2，则0????2???x，由正弦函数的单调性，得0?sin??sin(?2??)?1，即

，又x<0，故有(cos?)x1?(sin?)．

?2??说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组公式是实现正、余弦转化的有力工具．

例2 已知0????的诱导

，试比较2sin2?和cot?2?2的大小．

[来源:学*科*网]

分析 两个式子分别含有2?与商来比较．

解法一

2sin2?cot的三角函数，故可考虑都化为?的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作

?22?4sin?cos?tan?2?4sin?cos?1?cos?sin?

=4cos?且???4cos???4(cos??12)?1，∵0????2，所以当cos??2?12，即?????3时，上式有最大值1，当0??????3时，上式总小于1．因此，当??2?t??3时，2sin2?=cot?2?；当0??，则cot且?1t?3时，2sin2??cot?2．

2解法二 设tan于是有

cot，由0????得0??2，故tan?2?t?0?2?，2sin2??4sin?cos??4(1?t)?2t(1?t)22，

?2-2sin2?=

?1t?4(1?t)?2t(1?t)222?9t?6t?1t(1?t)2242?(3t?1)t(1?t)2222?0

cot因此，当??3时，2sin2?=cot?2；当0????且???3时，2sin2???2．

链接 本题用到以下两组三角公式： （1）半角公式 tan?2?1?cos?sin??sin?1?cos? （2）万能公式： 2tansin??1?tan?221?tan2?22tan?22?2；cos??1?tan2?2；tan??1?tan?2 例3 已知x?[0,?]，求证：cos(sinx)>sin(cosx)

分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sinx)小，同时比sin(cosx)大，即可证明原不等式．

证法一 （1）当x?2?0,?2,?时，显然cos(sinx)>sin(cosx)成立．

?2（2）当

?x??时，0?sinx?1?，??2?cosx?0，则cos(sinx)>0>sin(cosx)．

?2（3）当0?x??2时，有0

?2，而函数y=cosx在(0,)os上为减函数，从而有cos(sinx)>cosx；而0?cx??2，

则sin(cosx)cosx >sin(cosx)，从而cos(sinx)>sin(cosx)．

分析二 cos(sinx)可看作一个角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一个角cosx的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．

证法二 当0?x??2时，有0

cos(sinx)>cos(

?22sin(x??4)?2??2，即0

?2-cosx<

?2，

而函数y=cosx在(0,?2)上为减函数，所以-cosx)=sin(cosx)，即cos(sinx)>sin(cosx)．x在其他区

域时，证明同证法1．

说明 （1）本题的证明运用到结论：x?(0,?2)时，sinx?x?tanx，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重

要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cosx来比较，证法二利用有界性得sinx+cosx?

?2，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x?R.

情景再现

1．在锐角△ABC中，求证： 2．已知x,y?(0,?2sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC.

?2)，tanx?3tany，求证：x?y??6.

3．当x?[0,]时，求证：coscosx?sinsinx.

B类例题 例4 在?ABC中，证明：

sinA?sinB?sinC?323

分析一 本题中有三个变量A、B、C，且满足A+B+C=180°，先固定其中一个如角C，由于A+B =180°- C,

故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A－B有关的三角函数进行研究．

证法一 我们先假定C是常量，于是A+B=?sinA?sinB?sinC?2sinA?B2cosA?B2?C也是常量.

c2cosA?B2?sinC?sinC?2cos，

显然，对于同一个C值，当A=B时，上式达到最大值．

同样，对同一个A或B，有类似结论；因此,只要A、B、C中任意两个不等，表达式sin到最大值，因而，当A=B=C=

?3A?sinB?sinC就没有达

时，sinA?sinB?sinC有最大值323，∴原不等式得证．

说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．

分析二 即证

sinA?sinB?sinC3?32，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．

证法二 函数y?sinx是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量x1,x2,x3?(0,?)，总有

sin(x1?x2?x33)?sinx1?sinx2?sinx33?sin180?3?32，等号当x1?x2?x3时成立．因此有sin(A?B?C3)?sinA?sinB?sinC3，从而有

sinA?sinB?sinC3，因此原不等式成立．

说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．

链接 关于凸函数与琴生不等式的有关知识 凸函数定义：函数f(x)如果对其定义域中任意的x1、x2，都有如下不等式成立：f（12x1?x22）≤[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)是下凸函数，等号当x1=x2时成立．如果总有f（x1?x22）≥[f(x1)+f(x2)]，21则称f(x)是上凸函数，等号当x1=x2时成立． 其几何意义是，不等式①表示定义域中任意两点x1、x2，中点M所对应的曲线上点Q位于弦上对应点P的下面，不等式②则有相反的意义． P Q Q P xM xxM x定理：若f(x)是在区间I内的下凸函数，则对区间I内的任意n个点x1，x2，…,xn，恒有f（x1?x2???xnn）≤1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]，等号当x1=x2=…=xn时成立．若f(x)为上凸函数，不等号反向． 上述不等式称为琴生不等式，琴生不等式是丹麦数学家琴生(Jensen)于1905～1906年建立的．三角函数如y=sinx，y=cosx在（0，例5 已知x,y,z?R,0?求证：

?2?2）是上凸函数；y=tanx,y=cotx在（0，?2?2）是下凸函数． x?y?z?．

（90年国家集训队测试题）

?2sinxcosy?2sinycosz?sin2x?sin2y?sin2z分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积． 证明 即证

?4?sinxcosy?sinycosz?sinxcosx?sinycosy?sinzcosz

即

?4?sx证

ix?明

ny?(y?c注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而成立，综上所述，原不等式成立．

例6 已知不等式?3a?6对于??[0,?4为此单位圆在第一象限的面积，所以上式

2(2a?3)cos(???4)?6sin??cos??2sin2?来源学科网

?2]恒成立．求a的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）

分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos(???4)?22(sin??cos?)，sin2??2sin?cos?，因此考虑令sin??cos??x进行变量

代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．

解 设sin?(2a?3)x?2x6x?cos??x2，则cos(???4)?22x,sin2??x?16x2，当??[0,?2]时，x??1,2?．从而原不等式可化为：

???2(x?1)?3a?62x，即2x2?2ax?3x??3a?4?0，

2??2x(x??a)?3(x??a)?0，(2x?3)?x???2??a??0x??x???1,?(1)来源学科网

∴原不等式等价于不等式（1）， （1）不等式恒成立等价于x?从而只要a?(x?2)max(x??1,?x2x?x??1,2?,?2x?3?0??1,?x???2??

?a?0?恒成立．

在?1,2?上递减，?(x???，cossinc?c2?)?．又

f(x)?x?2x2x)max?3(x??1,?2?)?，所以a?3．

例7 三个数a,b,c?(0,?2)，且满足cosa?a，sincosb?b，按从小到大的顺序排列这三个数．（第

16届全苏竞赛题）

分析 比较a,b,c三数的大小，a?cosa，b?sincosb?cosb，c?cossinc?cosc，等式的两边变量均不相同，直

接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a与b，由方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．

解 （1）若a（2）若a?b?b，则cosa?sincosaa?cosab?sincosb，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号

，但由cosa?(0,?2)，故有cosa?sincosa矛盾，即a≠b．

，而sincosb?cosb，则由单调性可知cosa?cosb，又由a?b及题意可得cosa?sina?sincosb，因此又

a?a可得cosa?cosb，从而产生矛盾．综上，a?b．

类似地，若c?a，则由题意可得cosa?cossina，从而可得a即sinc?a，?cossinc?cosa，即c?a矛盾．

与a?sina矛盾；若c?a，则sinc?sin，

综上可得：b?a?c．

说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．

情景再现

4．在三角形ABC中， 求证：（1）sinA2?sinB2?sinC2?32；（2）sinAsinBsinC?383．