系谱分析中概率问题的贝叶斯分析一例

系谱分析中概率问题的贝叶斯分析一例

何风华（华南师范大学生命科学学院 广州 510631）

《生物学通报》2007年第2期“遗传概率的一个认识误区”一文，给出了一个家系概率问题的答案，但没有详尽的分析过程，不利于初学者的学习掌握，本文对此予以补充和完善。

问题：下面是某家族单基因遗传病系谱图，基因用A、a表示。请据图回答：Ⅱ2号的基因型概率是多少？

系谱分析表明该病的遗传方式是常染色体隐性遗传。如果这个家系的第Ⅲ代表型未知，我们可以根据孟德尔定律得出Ⅱ2的基因型为AA的概率是1/3，为Aa的概率是2/3。若Ⅱ2和Ⅱ3生了患病个体，那么可以确定Ⅱ2就是致病基因携带者，此时Ⅱ2再生育一个患儿的概率为1/2。本例已知第Ⅲ代有n个表型正常的子女，但这一信息不能帮助我们准确推定Ⅱ2的基因型概率。很显然随着健康孩子的连续出生，Ⅱ2为致病基因携带者的风险越来越小，但不能就此断言他不是携带者。系谱概率分析中的基本法则是加法定理和乘法定理。这个家系中，在已知Ⅱ2有n个正常子女的情况下，估计其基因型概率还需要用到贝叶斯（Bayes）定理，分析过程通常称为贝叶斯分析。

贝叶斯定理表示假设某一事件E已经发生，该事件可能由一组原因事件（Ci）引发，那么在事件E已经发生的情况下某一特定原因Ci的概率P(Ci|E)等于未发生事件E时该原因出现的概率P(Ci)，乘以该事件对于该原因的概率P(E|Ci)，除以事件E发生的总概率。事件E发生的总概率等于所有引起事件E发生的潜在因素的概率乘以事件E对于每个因素的概率的总和。贝叶斯定理可写为等式：P(CiE)?P(Ci)P(ECi)?P(Ci)P(ECi)。贝叶斯公式也叫做逆概率

公式，因为它实际上是在知道了结果的情况下来推断原因事件的概率，它反应了试验之后对原因发生可能性大小的新认识。贝叶斯定理用于医学遗传学中，E常指某一疾病的受累或未受累个体，或有某实验结果的人，Ci表示特定的基因型[1]。

贝叶斯公式用于该家系，Ci指Ⅱ2的基因型，E指Ⅱ2生育n个健康子女这一事件。贝叶斯分析通常包括4个层次的概率。在未知Ⅱ2子女表型的情况下，我们认为Ⅱ2基因型的概率是前概率。Ⅱ2是致病基因携带者Aa的前概率是2/3；如果Ⅱ2的基因型就是Aa，那么他生育1个正常子女的概率为1/2，这个在假设条件下产生的特定表型概率称为条件概率。根据独立事件概率的乘法定理，Ⅱ2有2个正常子女的条件概率是1/2×1/2，有n个正常子

1

女的条件概率是(1/2)n。整合这个家系提供的3个世代的信息，则Ⅱ2是致病基因携带者，同时他有n个正常子女的概率为前概率与条件概率的乘积，或2/3×(1/2)n。前概率和条件概率说明的两个事件同时发生的概率叫做联合概率。同理，Ⅱ2是纯合体AA的前概率是1/3；如果Ⅱ2就是正常的纯合体AA，那么他的后代必然全部表型正常，其条件概率为1，Ⅱ2是纯合子AA和有n个正常子女的联合概率为1/3×1=1/3。根据互斥事件的加法定理，Ⅱ2表型正常（基因型为AA或Aa），同时他有n个正常子女的概率为Ⅱ2各基因型的联合概率之和，或2/3×(1/2)n+1/3。再根据贝叶斯定理，系谱中Ⅱ2在已生育n个健康子女的情况下是隐性基因携带者的后概率等于Ⅱ2为Aa的联合概率除以Ⅱ2各基因型的联合概率之和，

2/3?(1/2)n1或；Ⅱ2已有n个健康子女，并且Ⅱ2为正常纯合子AA的后?nn?12/3?(1/2)?1/31?21/32n?1概率为。我们可以通过列表（表1）的方法比较直观地推导出?nn?12/3?(1/2)?1/31?2Ⅱ2基因型的后概率。

表1 Ⅱ2基因型概率的Bayes分析

前概率P(Ci) 条件概率P(E|Ci) 联合概率P(ECi) 后概率P(Ci|E)

如果Ⅱ2已生育2个健康的子女，那么他是致病基因携带者的概率由2/3降到了1/(1+22-1)=1/3。假若他再想要1个孩子，这个孩子患病的概率是多少呢？由于纯合子aa与携带者婚后生出隐性患儿的风险为1/2，故Ⅱ2再生育患儿的风险为1/3×1/2=1/6。可见，再生育子女的患病风险大大降低。当双亲或双亲之一的基因型不明确时，无论遗传病的遗传方式怎样，估计双亲生育某种患儿的概率要用到贝叶斯分析。贝叶斯定理在医学遗传学中有十分广泛的用途，有兴趣的读者可继续参阅有关专业书籍[2]。

主要参考文献

1 盖莱哈特 T. D., 柯林斯 F. S., 金斯伯格 D. 医学遗传学原理．孙开来等译．北京：科学出版社，2001：276-280．

2 李巍，何蕴韶．遗传咨询．河南：郑州大学出版社，2003：57-76．

Ⅱ2是致病基因携带者Aa

2/3

(1/2)n 2/3×(1/2)n 1/(1+2n-1)

Ⅱ2是纯合子AA 1/3 1 1/3 2n-1/(1+2n-1)

An example of Bayes analysis for a probability question in pedigree analysis

He Feng-hua

(College of Life Science，South China Normal University，Guangzhou 510631，China )

2

附作者简介：何风华(1972.5-) 男，汉族，博士，副教授，主要从事遗传学的教学和科研。Tel: 020-88269334 E-mail: hefenghua2000@163.com

3