结构动力学

一，解：

1）金井清模型的推导：

2ug(t)?x(t)?U(t)??2?g?gx??gx2x?2?g?gx??gx??U(t)........KT...... （1）

将式（1）写成状态方程形式，得

?M????.z?K??z????F?U?t? （2）

..则式（2）所对应的特征方程为

(?M?pj??K?)??j???0? j?1,2 （3）

p1,2???g?g?i?Dz，?Dz??g1??，求出??1?，??2?，做复模态变换?z?????j?qj

2g2j?1利用复振型的正交性，得两个相互解耦的方程：

qj?pjqj????j?T?F?/??j?T?M???j?该方程的稳态解为：

qj?t????je0?pj?U?T???，复振型反应qj，qk的相关函数为：

..RKTPJ,K??交换期望与积分的运算次序得到： ????E?qj?t?qk?t???????KTRP????2?S0rjk?J,K?0??0????u?v?epju?pkv?dvdu?2?S0rjkpj?pk?epk?，其中rjk???1??j?k24?Dg

速度反应的自相关函数为：

.??22.?KTR.????E?x(t)x(t??)????pjpkRqKT?? ?jqkx??j?1k?1??将RKTPJ,K???带入上式有：Rx.KT?S0??e????2?g?gg?g????g?cos?Dg??sin?Dg??

2??1??g??地面加速度的自相关函数为：R...KTKTx?..KT?..KTug?t?ug?t???? ????E???????2由ug(t)?x(t)?U(t)??2?g?gx??gx

......?????? 4223??得RKT?????gE?xtxt???4??Extxt???2??Extxt???Extxt?????????????????????gggg??....x.??????????????4KT22KT化简后的：R..KT?????gRx????4?g?gR.???带入RxKT???，R.KT???

ugxx得到R..KT????ug?S02e??g?g?2???1?4?2???1?4??gggg??cos?Dg??sin?Dg?? 22?g??1??g??得到金井清谱的自相关函数，带入维纳-辛钦公式可得金井清模型：

S..????xg4222?g?4?g?g???2??22g??4???2g2g2S0 （4）

2）结构随机响应计算：

金井清模型激励下的结构随机响应：

其中：

将上式降阶为一阶M?z?K?z??M?L?xwn，其中：

...

对该式进行复振型分解，由上式可知扩阶系统的位移和速度响应功率谱矩阵可写为：

由qi?pi.qi??i.xwn得：

.............?.?.?.?p?.?q???.?q????.xwn??z???.xwn?x1,x2,xf,x1,x2,xf??...????t??0,0,1,0,0,0?.xwn

t..式中[ p] 为各阶特征值组成的对角矩阵,上式右端给出了上部结构的速度，相对加速度反应和过滤层的绝对加速度，速度反应。那么,过滤层的绝对加速度功率谱可由下式给出：

上部结构绝对加速度可根据Mn?nx??..n?Cn?nx??.n?Kn?n?x?n??Mn?nIng?t?式所示的动

力平衡方程求得，则上部结构绝对加速度功率谱矩阵为：

位移的频响函数向量为：

位移响应的功率谱可采用下式计算：

利用频响函数还可以计算得到速度的功率谱。

二，解

位移为：x?t?，速度：x?t?加速度：x?t?

覆盖土层的运动方程为：x?t??2?g?gx?t???x?t???U?t?

2g........地表加速度为：xg?t??x?t??U?t???2?g?gx?t???x?t??u2g.........KTg?t?

地表加速度u..KTg?t?的自相关函数为：RKTug?..KT..KT?????E?ug(t)ug(t??)?代入

??

积分运算后得：

其中：

将复振型协方差反应代入：

得到金井清谱激励下结构协方差反应矩阵为：

RuKT??将结构协方差反应矩阵??g???的主对角元素取出，得到结构位移反应z?t?自相关

函数向量：

三，综述题（物理非线性）

1）复杂工程结构非线性抗震分析及研究现状国内外研究现状

在过去的几十年中,国内外学者在桥梁抗震非线性分析领域做了深入的研究,取得了相当多的研究成果,尽管如此,仍然有许多需要解决的问题。

（1）强震下活动支座一般可以进入滑动状态,而桥墩也有可能出现破坏,这两者之间是相互影响的,若支座进入非线性,则对桥墩的地震反应有所影响\目前将滑动支座摩擦力和桥墩弹塑性两者综合考虑的研究不多,且对于两者之间的相互影响也缺少相应的研究。

（2）为防止落梁等灾害的发生,降低固定墩分担的地震作用,对于大跨度连续梁,可在活动墩的纵向和横向设置限位装置等构造措施\由于限位装置的存在,梁体在活动支座发生滑动后,运动时将受到限位装置的限制,从而结构的地震反应将发生变化,同时,限位装置的活动距离对结构的地震反应也有一定的影响\可以通过详细的结构非线性时程反应分析,在不同的活动墩上设置允许活动范围和刚度不同的限位装置,综合考虑活动支座和限位装置的藕合作用,使其它墩分担结构的地震动输入能量,从而降低固定墩的地震反应。

（3）目前在考虑桩一土一结构动力相互作用时,一般按照弹性考虑,如铁路工程抗震规范规定,在地震反应分析时,将地基的作用简化为水平弹簧和转动弹簧施加在承台底部\若在计算结构的横向地震反应时,由于铁路桥墩横向刚度较大,桥墩可能进入不了屈服或者屈服程度较弱,由上部结构传递到基础的地震作用较大,给基础设计增了难度,为使桩基础满足要求,需要增大桩基础截面,这样可能造成不必要的浪费\若考虑基础可以进入非线性,则可能在很大程度上降低基础的地震作用\桩基础在土体进入非线性后,土与桩之间不再是完全的粘接状态,将产生缝隙,土一结构相互作用的研究需准确的模拟桩一土之间的接触一受压一非线性一分离一产生缝隙一再接触等状态,即桩-土分析存在状态非线性和材料非线性,目前对土进入非线性后桩土分离的状态的模拟研究较少。

（4）对于复杂地质条件上的薄弱环节不明显的桥梁结构,强震作用下,上部结构-支座一桥墩一基础一地基是一个整体结构,各部分之间的地震反应是相互影响的,需综