高等数学上复习资料

exdx. 【例82】计算?xe?1?2d(ex?1)?ln(ex?1) 解 原式＝?xe?1?2【例83】计算积分

1222?2?ln(e2?1)?ln(e?2?1).

dx. x?x?e?e011exdxd(ex)???2x?arctanex1?arctane? 解 原式＝?2x. 0e?1e?1400e2 【例84】计算积分

e2?1dx.

xlnx?1e21解 原式?d(lnx?1)?2lnx?1?lnx?11???23?2.

【例85】计算积分

???1dx.

x2(1?x2)??1?x2?x2dx? 解 原式＝?22x(1?x)1 ＝??1dx?2x??dx 2?1?x11x??1?arctanx??1?1?0?arctan1????2＝1??4??2?1??4.

【例86】填空题：若无穷积分

1?1dx收敛，则p . px【例87】计算积分

?0arcsinx1?x2dx.

解 这是x?1为瑕点的广义积分

1?? 原式＝lim??0?0arcsinx1?x21??dx?lim??0?arcsinxd(arcsinx)

012 ＝lim(arcsinx)??0221??01?22?lim?arcsin(1??)??.

??028【例88】计算积分

?1xdx. x?1 解 这是x?1为瑕点的广义积分

29

2 原式＝lim??01???xdx x?12 先用换元法换元：令x?1?t,x?t?1,dx?2tdt 再换积分限： x?1??时，t?11?, x?2时，t?1

1 原式＝

??t2?122tdt?2lim?(t2?1)dt?lim(t3?2t)??0??03t?8?. ?3第六章 定积分的元素法及其应用(5分)

定积分在几何上的应用：求平面图形的面积，求立体的体积.(公式见讲义) 【例89】求由下列曲线围成的平面图形的面积：

1 （1） y?及直线y?x,x?2

x 解

1??y?如图，解方程组?x，得交点(1,1)，

??y?x所求面积为 A??211x232(x?)dx?[?lnx]1??ln2.

x22

(2) y?lnx,y轴与直线y?lna,y?lnb(b?a?0)

解 选为y积分变量，如图，所求面积为

30

bA??eydy?[ey]lnlna?b?a

lnalnb【例90】求二曲线r?sin?与r?3cos?所围公共部分的面积. 解：当?等于0和

π时，两曲线相交， 3yθ?π3所围公共部分的面积为

1π1π23A??sinθdθ??π23cos2θdθ20235π3??244 xO 【例91】求由下列曲线围成的图形绕指定轴旋转而形成的旋转体的体积：

（1）y2?2px,x?a,y?0(p?0,a?0)；绕x轴 解 Vx???2pxdx??px20aa0??pa2

（2）y?x,x?2,y?0；绕x轴和绕y轴

解 如图，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

311282Vx??πydx??πx6dx?[πx7]0?π0077222

绕y轴旋转所得的旋转体的体积为.

28222300

Vy?2?π?8??πxdy?32π?π?ydy 364?32π?[πx3]8?π. 055

2007年12月25日初稿

2008年10月4日第1次修改． 2009年10月20日第2次修改 2010年11月5日第3次修改. 2011年12月10日第4次修改. 2012年1月8日第5次修改. 2013年1月5日第6次修改.

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12-13（1）命 题 情 况

课程名称： 高等数学 考试时间： 考试方法：闭卷

重点 内容 所占比例（%） 定义域 无穷小 洛必达法则 间断点 隐函数求导 近似计算 中值定理应用 最值问题 导数 微分 中值定理 导数的应用 凑微分法 分部积分法 凑微分法 分部积分法 求面积 附：选择填空类似于往年期末试题，其它80-90%来自书本例题与习题

出题说明（计算题重点） 函数 极限 连续 24% 填空3分 填空3分 选择3分 计算2*6=12分 选择3分 27% 选择2*3=6分 计算2*6=12分 选择3 计算6分 19% 证明 10分 应用9分 不定积分 6% 填空3+3=6分 定积分 应用 24% 填空 3 计算2*6=12分 综合 (计算) 9分 32