2016年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=， ∴cosα=﹣

=﹣，tanα=﹣，

∴tanα=

=﹣，即3tan2

﹣8tan﹣3=0，

解得：tantan

=﹣（不合题意，舍去．因为α是第二象限角，

=3，

是第一象限或第三象限角，

＞0）或tan

则tan（）===．则=2．

故答案为：2．

4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，又因为f（x+2）=﹣f（x），所以有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期为4， 根据周期性可得出f=f（0）=0．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（0）=0，

∵f（x+2）=﹣f（x），

∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， ∴f（x）的周期为4， ∴f=f（0）=0， 故答案为0．

5．在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为 28 ．

【考点】二项式定理的应用．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项 【解答】解：由二项式定理得

令（x3）8﹣r?（x﹣1）r=1，即24﹣4r=0，r=6， 所以常数项为故答案为：28．

，

，

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6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+

． ．

），则函数g（x）的单调递增区间为 【考点】正弦函数的图象．

【分析】先求的g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调增区间求得g（x）的单调递增区间．

【解答】解：对于函数

，当

时，函数g（x）单调递增，

求得故答案为：

7．设P是曲线

（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中

，

．

点，则点M的轨迹的普通方程为 8x2﹣4y2=1 ． 【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】由sec2θ﹣tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2﹣y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【解答】解：曲线

（θ为参数），即有

，

由sec2θ﹣tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2﹣y2=1，

设P（x0，y0），M（x，y）， 可得

，代入曲线方程，可得

2x02﹣y02=1，即为2（2x）2﹣（2y）2=1， 即为8x2﹣4y2=1．

故答案为：8x2﹣4y2=1．

8．在极坐标系中，O为极点，若A（1，【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】由【解答】解：∵

=

，可得OA⊥OB．即可得出△AOB的面积． =

，∴OA⊥OB．

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），B（2，），则△AOB的面积为 1 ．

∴S△AOB=

==1．

故答案为：1．

9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球

中最大的号码为ξ，则Eξ=

．

【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【分析】由题意得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ． 【解答】解：由题意得ξ的可能取值为3，4，5， P（ξ=3）=

=

，

P（ξ=4）==，

P（ξ=5）==，

∴Eξ=

故答案为：．

=．

10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x= 4 ． 【考点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质． 【分析】根据对数的运算性质，可得（x+1）（x﹣3）=5，解得答案．

【解答】解：因为f（x）=log5x，

所以f（x+1）+f（x﹣3）=log5x+1+log5x﹣3=log5（x+1）（x﹣3）=1， 即（x+1）（x﹣3）=5， 所以x=4或x=﹣2（舍去）， 故答案为：4． 11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 9π cm2（损耗忽略不计）．

【考点】组合几何体的面积、体积问题．

【分析】根据糖浆的体积不变性求出每个棒棒糖的半径，从而求出棒棒糖的面积． 【解答】解：圆柱形容器的体积为

设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为

，

，

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解得，∴，

故答案为：9π．

12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=

?

（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为

180 ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设Pi（xi，yi），可得xi+yi=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．

【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立 直角坐标系， 可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0）， 直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6）， 可设Pi（xi，yi），可得xi+yi=6， 即有mi==

?

=3xi+

yi

（xi+yi）=18，

则m1+m2+…+m10=18×10=180． 故答案为：180．

13．设函数f（x）=

，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有

两个零点，则实数a的取值范围是 （﹣2，+∞） ．

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．

【分析】由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=21﹣x

+a，依题意，得方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．

【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）

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