2009年高三数学第六次月考试题及答案(理科)

? (II) 若x??0,?，求f(x)的最大值和最小值． ??2??17．（本小题满分12分）

解：（I）∵a?(cosx,2cosx), b?(2cosx,sin???x?),

∴

f(x)?a ·b+1?2cos2x?2cosxsin(??x)?1- ------------------------------2分

?1?cos2x?2sinxcosx?1 - -------------------------------------------4分

?cos2x?sin2x?2 --------------------------------------------------------6分

?2sin(2x?)?2． ------------------------------------------------------7分

4? ∴函数

f(x)的最小正周期T?2???． -----------------------------8分 2? (II) ?x??0,?， ??2????5? ∴2x???,?． ---------------------------------------------------------------------9分 4??44??∴ 当2x??4?4??2,即x??8时，f(x)有最大值2?2； -------------------10分

当2x?18.已知函数f(x)=

?5??,即x?时，f(x)有最小值1． ------------------------12分 424,g(x)=x2－3ax+2a2(a＜0)，若不存在实数x使得f(x)＞1和g(x)＜0同时成．．．26?x?x立，试求a的范围.

18.解:由f(x)＞1，得

(x?2)(x?1)4＞1,化简整理得＜0. 2(x?3)(x?2)6?x?x解得－2＜x＜－1或2＜x＜3.

即f(x)＞1的解集为A={x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}. 由g(x)＜0得x2－3ax+2a2＜0,即(x－a)(x－2a)＜0(a＜0). 则g(x)＜0的解集为B={x|2a＜x＜a,a＜0}.

根据题意，有A∩B=?.因此，a≤－2或－1≤2a＜0. 故a的范围是{a|a≤－2或－

1≤a＜0}. 2?19.已知过点A（0，1），且方向向量为a?(1,k)的直线l与圆C:(x?2)2?(y?3)2?1，相交于M、

N两点.

（1）求实数k的取值范围；

?????????（2）若O为坐标原点，且OM?ON?12,求k的值.

?19.解：（1）?直线l过点(0,1)且方向向量a?(1,k), ?直线l的方程为y?kx?1……………………2分 2k?3?1由?1,得

2k?14?74?7……………………5分 ?k?33(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)

将y?kx?1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1得

(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0……………………11分

4(1+k2)7?x1+x2=,xx?……………………12 121?k21?k2?????????4k(1+k)?OM?ON?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?k(x1?x2)?1??8?1221?k4k(1+k)??4,解得k?1又当k?1时,??0,?k?1……………………12分

1?k2

20.（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn?1n2?11n，数列{bn}满足bn?2?2bn?1?bn?0

22 (n?N*)，且b3?11，前9项和为153.

（2）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn?3，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn?k对一切n?N*都

57(2an?11)(2bn?1)成立的最大正整数k的值. 解：（1）因为Sn?1211n?n；故 22 当n?2时；an?Sn?Sn?1?n?5；当n?1时，a1?S1?6；满足上式； 所以an?n?5；

又因为bn?2?2bn?1?bn?0，所以数列{bn}为等差数列； 由S9?9(b3?b7)23?11?3； ?153，b3?11，故b7?23；所以公差d?7?32 所以：bn?b3?(n?3)d?3n?2； …………5分

（2）由（1）知：cn?31 ?(2an?11)(2bn?1)(2n?1)(2n?1) 而cn?31111??(?)；

(2an?11)(2bn?1)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111111[(1?)?(?)???(?)] 23352n?12n?111n)? ?(1?；

22n?12n?1 所以：Tn?c1?c2???cn? 又因为Tn?1?Tn?n?1n1???0；

2n?32n?1(2n?3)(2n?1)1； 3 所以{Tn}是单调递增，故(Tn)min?T1?由题意可知

1k?；得：k?19，所以k的最大正整数为18； …………12分 35721. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足. （1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

（2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(?4,0)，且以a?(0,1)为方向

17向量的直线上一动点，满足ON?OA?OB（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圆上的任意一点，则P?(0,y1).

x1?x???x1?2x?2,即?,代入4x2?y2?4得， 则有：??y1?y?y?y1?y1?2?y2?1. 轨迹C的方程为x?42 （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为

x?4?0. 17?2y2?1?x? 由?得(4?k2)x2?4k2x?4k2?4?0. 4?y?k(x?2)? 由△= 16k?4(4?k)(4k?4)?0,?k?42224. 3 ?4k24(k2?1)2323,x1x2?. 即??k?. … x1?x2?334?k24?k2 ?ON?OA?OB,即AN?OB，∴四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则OA?OB?0，即x1x2?y1y2?0， 即(k2?1)x1x2?2k2(x1?x2)?4k2?0，

116k2?4k??. … ?0 于是有 得224?k4k24??设N(x0,y0),由ON?OA?OB得x0?x1?x2??，

174?k2即点N在直线x??4上. 171(x?2). 2 ∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为y??22．(本小题满分14分)

设函数f(x)?x2ex?1?ax3?bx2,已知x??2和x?1为f(x)的极值点. (Ⅰ)求a和b的值;

(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅲ)设g(x)?23x?x2,比较f(x)与g(x)的大小. 3

22(本小题满分14分)

【解:】(Ⅰ)因为f?(x)?ex?1(2x?x2)?3ax2?2bx?xex?1(x?2)?x(3ax?2b),

又x??2和x?1为f(x)的极值点,所以f?(?2)?f?(1)?0,

??6a?2b?0,1因此?解该方程组得a??,b??1.

3?3?3a?2b?0,1x?1（Ⅱ）因为a??,b??1,所以f?(x)?x(x?2)(e?1),

3令f?(x)?0,解得x1??2,x2?0,x3?1． 因为当x?(??,?2)?(0,1)时,f?(x)?0; 当x?(?2,0)?(1,??)时,f?(x)?0．

所以f(x)在(?2,0)和(1,??)上是单调递增的;在(??,?2)和(0,1)上是单调递减的.

1?x3?x2, 32x?132x?1x?1x?1故f(x)?g(x)?xe?x?x(e?x),令h(x)?e?x，则h?(x)?e?1. 令h?(x)?0,得x?1,因为x?(??,1)时,h?(x)?0,

所以h(x)在x?(??,1)上单调递减.故x?(??,1)时，h(x)?h(1)?0;

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)?xe2x?1