推荐2019高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1-5-2

第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

课时过关·能力提升

基础巩固

1简谐运动y=3sinx+π4的相位和初相分别是 A.3,5

B.5x+4,π4

( )

C.3,4D.π4,5x+π4 答案:B

2函数f(x)=sin-π4的图象的一条对称轴是( ) A.x=4B.x=π2 C.x=-4D.x=-π2

解析:函数f(x)=sin-π4的图象的对称轴是x-4=kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+π4,k∈Z.当k=-1时x=-π+π4=-π4.故选C. 答案:C

3设点P是函数f(x)=sin ωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是4,则f(x)的最小正周期是( ) A.2π

B.π

C.2D.π4

解析:函数y=sinωx的图象中,对称中心到对称轴的最小值是4,其中T为函数y=sinωx的最小正周期,则4=π4,解得T=π. 答案:B

4已知f(x)=sin(3x+φ)的图象的一个对称中心是7π12,0,则φ可取( ) A.4B.-π4C.7π12D.-7π12

解析:由于-7π12=0,则sin7π4+φ=0,

∴sin4+φ=0.验证各选项可知仅当φ=-4时满足sin4+φ=0. 答案:B

5已知ω>0,0<φ<π,直线x=4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ) A.4B.π3C.π2D.3π4

解析:周期T=2π4-π4=2π,∴ω=2πT=1.

∴f(x)=sin(x+φ).

由题意知π4=±1,∴sinπ4+φ=±1. 又0<φ<π,∴4<φ+π4<5π4, ∴φ+4=π2,∴φ=π4. 答案:A

6函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R的部分图象如图,则此函数表达式为 A.y=-4sin8x-π4B.y=-4sinπ8x+π4 C.y=4sin8x-π4D.y=4sinπ8x+π4

解析:观察图象知函数的最大值是4,则A=4,函数的周期T=2×[6-(-2)]=16,则16=πω,解得ω=π8,

则有y=4sin8x+φ.

又点(-2,0)在函数y=Asin(ωx+φ)的图象上, 则0=4sin8×(-2)+φ,所以sin-π4=0. 又|φ|<2,所以φ=π4.所以y=4sin8x+π4. 答案:D

( )

7函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图,为了得到g(x)=sin 3x的图象,则只要将f(x)的图象( )

A.向右平移4个单位长度 B.向右平移12个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向左平移12个单位长度

解析:由函数f(x)的图象,知函数f(x)的最小值是-1,则A=1;

函数f(x)的周期是5π12-π4=2π3, 则πω=2π3,解得ω=3,则f(x)=sin(3x+φ). 又函数f(x)的图象经过点4,0, 则π4=0,即sin×π4+φ=0.

又|φ|<2,则φ=π4,所以f(x)=sinx+π4.

所以要得到g(x)=sin3x的图象,只需将f(x)的图象向右平移12个单位长度. 答案:B

8关于函数f(x)=2sinx-3π4,以下说法:①其最小正周期为2π3;②图象关于点π4,0对称;③直线x=-π4是其图象的一条对称轴.

其中正确命题的序号是 . 答案:①②③

9若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f8+t=fπ8-t,且fπ8=-3,则实数m的值等于 . 答案:-5或-1

10点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.

(1)求物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式; (2)求该物体在t=5 s时的位置.

解(1)设x和t之间的函数关系式为x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π).则由T=πω=3,可得ω=2π3.

当t=0时,有x=3sinφ=3,即sinφ=1. 又0≤φ<2π,所以φ=2.

故所求函数关系式为x=3sinπ3t+π2, 即x=3cosπ3t.

(2)令t=5,得x=3cosπ3=-1.5,

故该物体在当t=5s时的位置是在点O的左侧且距点O1.5cm处.

11挂在弹簧下的小球上下振动,它在时间t(单位:s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(单位:cm)由函数关系式h=3sint+π4决定.

(1)以t为横坐标,h为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t≤π); (2)经过多少时间,小球往复振动一次? (3)每秒小球能往复振动多少次?

解(1)利用五点法可以作出其图象(如图).

(2)小球经过πs往复振动一次. (3)每秒小球能往复振动π次.

能力提升