江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编：导数及其应用

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编

导数及其应用

一、填空题

π1、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知两曲线f(x)?2sinx，g(x)?acosx，x?(0，)2相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ． 2、（盐城市2017届高三上学期期中）若函数f(x)?则实数a的取值范围是 ▲

3、（盐城市2017届高三上学期期中）已知f?x?为奇函数，当x?0时，f?x??e?x，则曲线

x213x?x2?ax?3a在区间[1,2]上单调递增，3y?f?x?在x?1处的切线斜率为 ▲ ．

4、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数f(x)?x?asinx在(??,??)上单调递增，则实数

a的取值范围是 。

5、（扬州市2017届高三上学期期末）已知x?1,x?5是函数f?x??cos??x??????0?两个相邻的极值点，且f?x?在x?2处的导数f??2??0，则f?0?? ▲ ．

二、解答题

1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设函数f(x)?lnx，g(x)?ax?a?1?3（a?R）. xx（1）当a?2时，解关于x的方程g(e)?0（其中e为自然对数的底数）；

（2）求函数?(x)?f(x)?g(x)的单调增区间；

（3）当a?1时，记h(x)?f(x)?g(x)，是否存在整数?，使得关于x的不等式2??h(x)有

解？若存在，请求出?的最小值；若不存在，请说明理由.

（参考数据：ln2?0.6931，ln3?1.0986）

2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数f(x)?ax2?x?lnx，a?R．

3（1）当a?时，求函数f(x)的最小值；

8（2）若?1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点； （3）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）设函数f(x)?lnx?ax2?ax，

a为正实数．

（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

1（2）求证：f()≤0；

a（3）若函数f(x)有且只有1个零点，求a的值．

4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知函数

x2f(x)??ax,g(x)?lnx?ax,a?R．

2e（1）解关于x(x?R)的不等式f(x)≤0； （2）证明：f(x)≥g(x)；

（3）是否存在常数a,b，使得f(x)≥ax?b≥g(x)对任意的x?0恒成立？若存在，求 出a,b的值；若不存在，请说明理由．

5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知f(x)?ax3?3x2?1(a?0)，定义

≥)?f(x),f(xh(x)?ma()g,??x(?)?xfx?)?g(x),f(x（1）求函数f(x)的极值；

g(x)． g(x)（2）若g(x)?xf?(x)，且存在x?[1,2]使h(x)?f(x)，求实数a的取值范围； （3）若g(x)?lnx，试讨论函数h(x)(x?0)的零点个数．

6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知f?x??x?mx?1?m?R?,g?x??e.

2x （1）当x??0,2?时，F?x??f?x??g?x?为增函数，求实数m的取值范围； （2）若m???1,0?，设函数G?x??f?x?15,H?x???x?,，求证：对任意g?x?44x1,x2??1,1?m?，G?x1??H?x2?恒成立.

7、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数f?x??lnx?ax?a?R?.

（1）若直线y?3x?1是函数f?x?图象的一条切线，求实数a的值；

2（2）若函数f?x?在??1,e??上的最大值为1?ae（e为自然对数的底数），求实数a的值； 22（3）若关于x的方程ln2x?x?3t?x?x?t?ln?x?t?有且仅有唯一的实数根，求实数t??的取值范围.

aex?x。 8、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数f(x)?x（1）若函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线经过点(0,?1)，求a的值；

（2）是否存在负整数a，使函数f(x)的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；

（2）设a>0，求证：函数f(x)既有极大值，又有极小值。

x9、（扬州市2017届高三上学期期末）已知函数f(x)?g(x)?h(x)，其中函数g(x)?e，

h(x)?x2?ax?a．

（1）求函数g(x)在?1,g(1)?处的切线方程；

（2）当0?a?2时，求函数f(x)在x?[?2a,a]上的最大值；

（3）当a?0时，对于给定的正整数k，问函数F(x)?e?f(x)?2k(lnx?1)是否有零点？请说明理由．（参考数据e?2.718,e?1.649,ee?4.482,ln2?0.693）

210、（镇江市2017届高三上学期期末）已知函数f(x)?xlnx，g(x)??(x?1)（?为常数）．

（1）若函数y?f(x)与函数y?g(x)在x?1处有相同的切线，求实数?的值； （2）若??1，且x?1，证明：f(x)?g(x)； 2（3）若对任意x?[1,??)，不等式恒f(x)?g(x)成立，求实数?的取值范围．

参考答案 一、填空题

12321、 2、a?3 3、?2 4、[?1,1] 5、

32e

二、解答题

1?3?0，去分母，得 ex12(ex)2?3ex?1?0，解得ex?1或ex?， ……………2分

2故所求方程的根为x?0或x??ln2. ……………4分

a?1?3(x?0)， （2）因为?(x)?f(x)?g(x)?lnx?ax?x1a?1ax2?x?(a?1)(ax?(a?1))(x?1)?所以??(x)??a?2?（x?0）， …6分

xxx2x2①当a?0时，由??(x)?0，解得x?0；

a?1②当a?1时，由??(x)?0，解得x?；

a③当0?a?1时，由??(x)?0，解得x?0； ④当a?1时，由??(x)?0，解得x?0；

a?1⑤当a?0时，由??(x)?0，解得0?x?.

aa?1)； 综上所述，当a?0时，?(x)的增区间为(0,a当0?a?1时，?(x)的增区间为(0,??)；

a?1a?1时，?(x)的增区间为(,??). ……………10分

a（3）方法一：当a?1时，g(x)?x?3，h(x)?(x?3)lnx，

3333所以h?(x)?lnx?1?单调递增，h?()?ln?1?2?0，h?(2)?ln2?1??0，

x22233所以存在唯一x0?(,2)，使得h?(x0)?0，即lnx0?1??0， ………12分

2x0当x?(0,x0)时，h?(x)?0，当x?(x0,??)时，h?(x)?0，

x1、解：（1）当a?2时，方程g(ex)?0即为2e?(x0?3)239所以hmin(x)?h(x0)?(x0?3)lnx0?(x0?3)(?1)???6?(x0?)，

x0x0x093记函数r(x)?6?(x?)，则r(x)在(,2)上单调递增， …………14分

x2331所以r()?h(x0)?r(2)，即h(x0)?(?,?)，

2223由2???，且?为整数，得??0，

2所以存在整数?满足题意，且?的最小值为0. .……………16分

方法二：当a?1时，g(x)?x?3，所以h(x)?(x?3)lnx，

由h(1)?0得，当??0时，不等式2??h(x)有解， …………12分

下证：当???1时，h(x)?2?恒成立，即证(x?3)lnx??2恒成立. 显然当x?(0,1][3,??)时，不等式恒成立， 只需证明当x?(1,3)时，(x?3)lnx??2恒成立.

22?0.令m(x)?lnx?， x?3x?312x2?8x?9所以m?(x)??，由m?(x)?0，得x?4?7， …14分 ?22x(x?3)x(x?3)当x?(1,4?7)，m?(x)?0；当x?(4?7,3)，m?(x)?0；

即证明lnx?所以mmax(x)?m(4?7)?ln(4?7)?所以当???1时，h(x)?2?恒成立.

综上所述，存在整数?满足题意，且?的最小值为0. .……………16分

332、【解】（1）当a?时，f(x)?x2?x?lnx．

88所以f?(x)?3x?1?1?4x7?12?1?ln(4?2)??ln2?1?0. 33(3x?2)(x?2)，（x>0）． ……………………………2分

4x令f?(x)?0，得x?2，

当x?(0，2)时，f?(x)?0；当x?(2，??)时，f?(x)?0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，??)上单调递增．

所以当x?2时，f(x)有最小值f(2)??1?ln2．………………………………4分

2212ax?x?1，x?0． （2）由f(x)?ax?x?lnx，得f?(x)?2ax?1??xx222ax?x?1<0， ?a≤0所以当时，f(x)?x+?)上单调递减， 函数f(x)在(0，+?)上最多有一个零点．……………………6分 所以当a≤0时，函数f(x)在(0，21e?a>0， -1≤a≤0因为当时，f(1)?a?1<0，f()??e2ee+?)上有零点． 所以当-1≤a≤0时，函数f(x)在(0，综上，当-1≤a≤0时，函数f(x)有且只有一个零点． ………………………8分 （3）解法一：

+?)上最多有一个零点． 由（2）知，当a≤0时，函数f(x)在(0，因为函数f(x)有两个零点，所以a>0． ………………………………………9分

2ax2?x?1由f(x)?ax?x?lnx，得f?(x)?，(x?0)，令g(x)?2ax2?x?1．

x2因为g(0)??1?0，2a>0，

??)上只有一个零点，设为x0． 所以函数g(x)在(0，