2009届江苏省木渎高级中学第一次高考模拟测试卷（数学）

ππ12∴当sin(2B?)＝1，即B?时，|m?n|取得最小值．

632所以，|m?n|min?2．????????????????????????142分

17．(1)证明：?E、P分别为AC、A′C的中点，

? EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，EP?平面AA′B

∴即EP∥平面A′FB ????????????????7分

(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC BC?平面A′BC

∴平面A′BC⊥平面A′EC ????????????????14分 注：直角三角形条件在证这两问时多余了，可直接用两侧面的直角三角形证明即可。 18．解：（1）取弦的中点为M，连结OM

由平面几何知识，OM=1

OM?2k2?1?1 得：k2?3，k??3

3 ????????????????6分

∵直线过F、B ，∴k?0则k?（2）设弦的中点为M，连结OM 则OM2?4 21?k144522k? 解得 )?()41?k25d2?4(4?22(?)c2142k e?2???225a1?k4?()2k∴0?e?25 ????????????????15分 5（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得） 19．

第(3)问的构造法可直接用第二种方法，作差后用x代换

20．解：（1）由方程组?（2）假设存在。

?y?1?2x的解为x?1不符合题设，可证。

y?1y?1?x???3分?2?1即可。 n5??y-x?2(x?1)lnxlnyy?xlny?lnx?由方程组?，得，即 ?yx?1y?1?5分x?1lnx?（）?xx?25设f(x)?lnx（x?0,x?1），可证：当x?(0,1)时，f(x)单调递减且f(x)?1；x?1f(x)单调递减且f(x)?1。

当x?(1,??)时，

1?f?(x)?1?lnx11?xx，设g(x)?1??lnx，则g?(x)?。

???7分(x?1)xx22①当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)递增，故g(x)?g(1)?0，

于是

f?(x)?0，f(x)在(0,1)上单调递减。

，则

设

h(x)?lnx?(x?1)h?(x)?1?x?0x，

h(x)在

(0,1)上递增，

h(x)?h(1)?0，即lnx?(x?1)，所以f(x)?lnx ?1。

???9分x?1g(1)?0，

②当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)递减，故g(x)?于是

f?(x)?0，f(x)在(1,??)上单调递减。

h?(x)?1?x?0，h(x)在(1,??)上递减，h(x)?h(1)?0，即lnx?(x?1)，所xlnx以f(x)??1

x?1由函数f(x)?lnx（x?0,x?1）的性质可知满足题设的x,y不存在。

???11分x?1（3）假设1，x，y是一个公差为d的等差数列的第r、s、t项，又是一个等比为q等比数列的第r、s、t项。于是有：x?1?(s?r)d,y?1?(t?r)d，

x?q,y?qs?rt?r，

?y?1x?1??lnxlny?t?rs?r?从而有?， 所以。

lnxs?rx?1y?1????lnyt?r设f(x)?lnx (x?0,x?1)，同（2）可知满足题设的x,y不存在

???16分x?127注：证法太繁，在第二问中，可用d,q来表示，消去d可得7q?2q?5?0，则构造

f?q??7q2?2q7?5易得到极值点为q?1。

附加题参考答案

?ab??ab?附1．（1）设M=?，则有??cd??cd????1???1??ab???1?=??1?，?cd?????????2??0??1?=??2?， ?????a?1?b?22??a?b??1，??2a?b?0，?1?所以?且? 解得?，所以M=? ?．??????????5

?c?d??1，??2c?d??2．?34??c?3??d?4分

（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．

?x' ＝x＋2y，?x???12??x??x?2y??因为???? ?????，所以又m：x??y??4， ?y' ＝3x＋4y，??y34y3x?4y????????所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．????????????10分

附2．解：以有点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（1）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?． 所以x2?y2?4x．

即x2?y2?4x?0为圆O1的直角坐标方程．

同理x2?y2?y?0为圆O2的直角坐标方程． ??????????????6分

?x2?y2?4x?0?（2）由?2 2??x?y?y?0相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x?y?0． ??????????10分 附3．（1）设P（x，y），根据题意，得x2?(y?1)2?3?y?4．

化简，得y?分

（2）S?12x(y≤3)．????????????????????????54?316012?2313?2x?xdx?x?x??4312??x?163?4．??????????????103分 附4．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知

C321P(A)?2?. ………………………………4分

C65111C3C3C313（2）ξ可取1，2，3，4． P(??1)?1?,P(??2)?1?1?，

C62C6C510

1111111C3C3C3C3C2C2C131 P(??3)????；………………8分 ,P(??4)?????C1C1111C1165C420C6C54C320 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 1 33210 12020 E??1?12?2?310?3?320?4?17720?4. 答：ξ的数学期望为4.

分 …………10