2020高考数学(文科)历年高考题汇总专题复习：第五章 数 列(含两年高考一年模拟)

a1（1－q5）a4

11．11 [∵a＝－8＝q3，∴q＝－2，S5＝＝11.]

11－qanan＋1

12．3 [设{an}的公比为q，∵＝q2＝9，则q＝±3，

an－1an∵anan＋1＝9n＞0，∴q＝3.]

13．4 [设等比数列的首项为a1， a1[1－（2）n]

则an＝a1(2)n－1，Sn＝，

1－2

a1[1－（2）n]a1[1－（2）2n]17－

1－21－2

a1（2）

n

所以Tn＝

17Sn－S2n

an＋1

＝＝

?161??（2）n＋－17?， n?（2）1－2???

1616n

因为(2)n＋≥8，当且仅当(2)＝，即n＝4时取nn

（2）（2）等号，故当n0＝4，Tn0最大．]

1

14．(1)解 当n＝1时，a1＝5S1＋1，∵a1＝－4， 又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1 ∴an＋1－an＝5an＋1， an＋11即a＝－4，

n

11

∴数列{an}是首项为a1＝－4，公比为q＝－4的等比数列，

?1?n∴an＝?－4?.

??

(2)bn＝log4|(－4)n|＝n，

1111所以＝＝－，

bnbn＋1n（n＋1）nn＋1

???11??1??11?n

－Tn＝??1－2?＋?2－3?＋…＋?nn＋1??＝.考点18 数列求和

????????n＋1

与数列的综合应用

【两年高考真题演练】

1．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，

??a1＋d＝4，

由已知得?

?（a1＋3d）＋（a1＋6d）＝15，???a1＝3，

解得?

??d＝1.

所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)

＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) 2（1－210）（1＋10）×10＝＋ 21－2＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.

2．解 (1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.

??a1＝1，??a1＝8，又a1＋a4＝9.可解得?或?(舍去)．

???a4＝8?a4＝1

由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.

a1（1－qn）n

(2)Sn＝＝2－1，

1－qan＋1Sn＋1－Sn11

又bn＝＝＝－，

SnSn＋1SnSn＋1SnSn＋1

?11?1??11??1

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝?S－S?＋?S－S?＋…＋?S－S?＝

?1?22?3?n＋1??n

111

－＝1－. S1Sn＋12n＋1－1

3．(1)解 y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，

从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．

1n令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.

n＋1n＋1(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知

222

Tn＝x1x3…x2n－1＝?

?1?2?3?2?2n－1?2

???…??.

2n?2??4???

1

当n＝1时，T1＝4. 222??（2n－1）（2n－1）－12n－12??当n≥2时，因为x2n－1＝＝>＝

（2n）2（2n）2?2n?

2n－2n－1

2n＝n. n－11?1?212

??所以Tn>2×2×3×…×n＝4n. ??1

综上可得对任意的n∈N，均有Tn≥4n. *

1?1??a＋4．证明 (1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋2＝3n2?. ??13

又a1＋2＝2，

13

所以{an＋2}是首项为2， 公比为3的等比数列．

3n－113n

an＋2＝2，因此{an}的通项公式为an＝2. 12

(2)由(1)知a＝n.

3－1n

11

因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以n≤. 3－12×3n－111111于是a＋a＋…＋a≤1＋3＋…＋n－1 312n1?33?

??1－＝23n?<2. ?

1113所以a＋a＋…＋a<2. 12n【一年模拟试题精练】

1．B [∵a2a3＝2a1，∴a1q3＝a4＝2. 51又∵a4＋2a7＝4×2，∴a7＝4， 1

故q＝2，a1＝16， a1（1－q5）

因此S5＝＝31.]

1－q

2．C [∵Sn＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－－n)＝n＋1－1.

∴Sm＝m＋1－1＝10，得m＝120.]

n－1)＋(

n＋1