2020高中数学 第1章 统计案例 1.2 回归分析学案 苏教版选修1-2

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大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

1

解：(1)由于x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，

6

y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.

^

所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得

16

L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)

＝－20x＋330x－1 000

2

?33?＝－20?x－?＋361.25.

4??

当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.

[例2] 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

2

x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72 其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩． (1)y与x是否具有相关关系？

(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．

[思路点拨] 可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性做出判断． －－

[精解详析] (1)由已知表格中的数据，求得x＝71，y＝72.3，

－

? xi－xi＝110

yi－y102

－

≈0.78.

r＝10

?

i＝1

－xi－x ?

i＝1

yi－y－

2

由检验水平0.05及n－2＝8，在课本附录1中查得r0.05＝0.632，因为0.78>0.632， 所以y与x之间具有很强的线性相关关系． (2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为

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－

? xi－x^

^

y＝a＋bx，则有b＝

^

^

i＝1

10

10

yi－y－

≈1.22，

－

? xi－xi＝1

2

^

a＝y－bx＝72.3－1.22×71＝－14.32.

^

所以y关于x的回归直线方程为y＝1.22x－14.32.

[一点通] 判断x与y是否具有线性相关关系，还可以先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关．有些同学不对问题进行必要的相关性检验，直接求x与y的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能准确反映变量x与y间的变化规律．另外，要注意计算的正确性．

5．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1与r2的关系为________．

解析：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随

－^－

U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0，所以有r2＜0＜r1.

答案：r2＜0＜r1

6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有1

样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．

2

1

解析：样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y＝x＋1上，样本的相关系数应

2为1.

答案：1

7．为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：

母亲身高x/cm 159 女儿身高y/cm 158 160 159 160 160 163 161 159 161 154 155 159 162 158 157 159 162 157 156 试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm时，女儿的身高为多少？ 解：作线性相关性检验． －－

x＝×(159＋160＋…＋157)＝158.8， y＝×(158＋159＋…＋156)＝159.1，

1

10

110

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10

22222

i－10(x)＝(159＋160＋…＋157)－10×158.8＝47.6， ?x2

－

i＝1

－－

?xiyi－10xy＝(159×158＋160×159＋…＋157×156)－10×158.8×159.1＝37.2，

i＝1

10

10

22222

i－10(y)＝(158＋159＋…＋156)－10×159.1＝56.9， ?y2

－

i＝1

－－

?xiyi－10xyi＝1

10

因此r＝

10

[?xi－10

2

－

102

x][?yi－10

2

－

y2

]

i＝1i＝1

＝

≈0.71.

47.6×56.9

37.2

由检验水平0.05及n－2＝8，在课本附录1中查得r0.05＝0.632，因为0.71>0.632，所以可以认为x与y有较强的相关关系，因而求回归直线方程有必要．

－－

?xiyi－10xy^又b＝

i＝110

＝

－xi－10?x2

10

2

37.2

≈0.78， 47.6

i＝1

^

a＝159.1－0.78×158.8≈35.2，

^^

由此得回归直线方程为y＝35.2＋0.78x，回归系数b＝0.78反映出当母亲身高每增加1 cm时女儿身高平均^^

增加0.78 cm，a＝35.2可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分，当母亲身高为161 cm时女儿身高为y＝0.78×161＋35.2＝160.78≈161(cm)，这就是说当母亲身高为161 cm时，女儿身高大致也为161 cm.

1．求线性回归方程的方法 确定线性回归方程的基本步骤为：

^^^^^

(1)先求b；(2)再求a；(3)写出方程y＝bx＋a. 2．分析两个变量的相关关系常用的方法

(1)散点图法．该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．

(2)相关系数法．该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越强，

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|r|越接近于0，相关程度越弱．

一、填空题

1．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的序号是________．

①直线l过点(x，y)；

②x和y的相关系数为直线l的斜率； ③x和y的相关系数在0到1之间；

④当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同．

解析：因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以②③错误；④中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以④错误；根据回归直线方程一定经过样本中心点可知①正确．

答案：①

2．(湖北高考改编)根据如下样本数据

x y 3 4.0 4 2.5 5 －0.5 6 0.5 7 －2.0 8 －3.0 ^

得到的回归方程为y＝bx＋a，则下列说法正确的是________．(填序号) ①a>0，b>0 ②a>0，b<0 ③a<0，b>0 ④a<0，b<0 解析：由表中数据画出散点图，如图，