2020高中数学 第1章 统计案例 1.2 回归分析学案 苏教版选修1-2

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1.2 回归分析

1．线性回归模型

(1)线性回归模型y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差． (2)随机误差产生的原因主要有以下几种： ①所用的确定性函数不恰当引起误差； ②忽略了某种因素的影响； ③存在观测误差．

^^^

(3)在线性回归方程y＝a＋bx中

－

? xi－x^

i＝1n－yi－y＝

－－

?xiyi－nxyi＝1

nb＝

－

? xi－xi＝1n2

，

－xi－n?x2

n2

i＝1

nn－^－－1－1

a＝y－bx(其中x＝?xi，y＝?yi)．

^

ni＝1ni＝1

^^^^^

其中，a，b分别为a，b的估计值，a称为回归截距，b称为回归系数，y称为回归值． 2．相关系数

(1)计算两个随机变量间线性相关系数的公式

－

? xi－xi＝1n2

－

? yi－yi＝1

n2

－－

?xiyi－nxyi＝1

n＝

n2

?xi－nxi＝1

－

2

－yi－n?y2

i＝1

n2

(2)r具有如下性质： ①|r|≤1；

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②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强； ③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱． 3．对相关系数进行显著性检验的基本步骤

(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；

(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录1中查出一个r的临界值

r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；

(3)计算样本相关系数r；

(4)作出统计推断：若|r|>r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．

我们把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次^^^

函数关系时，我们所求出的函数关系式y＝a＋bx就是回归直线方程．求回归直线方程的一般方法是借助于工作^^－^－^^^^

软件求出回归直线方程，也可以利用计算器计算出b，再由a＝y－bx求出a，写出回归直线方程y＝bx＋a.计算时应注意：

n?xiyi－nx y^^(1)求b时，利用公式b＝

i＝1n2

－－

n－1－1

，先求出x＝(x1＋x2＋…＋xn)，y＝(y1＋y2＋…＋yn)，?xiyi＝x1y1

?xi－nxi＝1

n－

nn2

i＝1

^－^－^2222

＋x2y2＋…＋xnyn，?xi＝x1＋x2＋…＋xn.再由a＝y－bx求出a的值，并写出回归直线方程．

i＝1

^^

(2)线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致估计结果的偏差．

^^^^^^^^

(3)回归直线方程y＝a＋bx中的b表示x增加1个单位时，y的变化量为b，而a表示y不随x的变化而变化的部分．

^^^

(4)可以利用回归直线方程y＝a＋bx求在x取某一个值时y的估计值．

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[例1] 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

x y

2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由数据可知，y对x呈线性相关关系． (1)求线性回归方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

^^

[思路点拨] 由于题目条件已经指明y对x呈线性相关关系，所以可直接利用公式求a与b，然后求出线性回归方程，最后把10代入，估计维修费用．

[精解详析] (1)列表如下：

i xi yi xiyi x2i

1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 －－2

经计算得：x＝4，y＝5，?xi＝90，?xiyi＝112.3，

i＝1

i＝1

55

－－

?xiyi－5xy^于是b＝

i＝1

5

^－^－

＝1.23，a＝y－b·x＝0.08，

5

2

i－5x?x2

－

i＝1

^^^

所以线性回归方程为y＝bx＋a＝1.23x＋0.08.

^

(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元． [一点通] 若题目中没有指明y对x呈线性相关关系，而只给出资料，则需根据散点图或利用线性相关系数先确定变量是否线性相关，再求线性回归方程．

1．(辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收^

入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

^^

解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254

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万元．

答案：0.254

2．(湖北高考改编)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

^

①y与x负相关且y＝2.347x－6.423； ^

②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648； ^

③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493； ^

④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是________．

^^^^^

解析：由回归直线方程y＝bx＋a，知当b＞0时，x与y正相关，当b＜0时，x与y负相关，所以①④一定错误．

答案：①④

3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 ^^^^

根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为________万元． －4＋2＋3＋57－49＋26＋39＋54解析：∵x＝＝，y＝＝42.

424^^^－－

又y＝bx＋a必过(x，y)， 7^^

∴42＝×9.4＋a，∴a＝9.1.

2^

∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.

^

∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案：65.5

4．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元) 销量y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 ^－－

(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最