数理金融

数理金融复习资料（题库有风险，仅供参考，周祥祝大家考试顺利）

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1.你管理的股票基金的预期风险溢价为10％，标准差为14％，短期国库券利率为6％。你的委托人决定将60000美元投资于你的股票基金，将40000美元投资于货币市场的短期国

库券基金，你的委托人的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？

解：你的基金的预期收益率=国库券利率+风险溢价= 6%+ 1 0%= 1 6%。 客户整个资产组合的预期收益率为0 . 6×1 6%+ 0 . 4×6%= 1 2%。 客户整个资产组合的标准差为0 . 6×1 4%= 8 . 4%。

2.假设投资者有100万美元，在建立资产组合时有以下两个机会： ①无风险资产收益率为12％/年， ②风险资产收益率为30％/年，标准差为40％， 如果投资者资产组合的标准差为30％，那么收益率是多少？

解：W=30%/40%=0.75

E(r)=12%*0.25+30%*0.75=25.5%

3.A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间的相关系数。根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：

①平均投资于A、B；②平均投资于A、C；③平均投资于B、C；④全部投资于C。 答案：③

4。如果rf＝6%，E(rM)＝1 4%，E(rP)＝1 8%的资产组合的β值等于多少？ 答案：

5.一证券的市场价格为50美元，期望收益率为14％，无风险利率为6％，市场风险溢价为8.5％。如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍（其他变量保持不变），该证券的市场价格是多少？假定该股票预期会永远支付一固定红利。

答案： 如果证券的协方差加倍，则它的值和风险溢价也加倍。现在的风险溢价为8%( = 1 4%-6%)，因此新的风险溢价为1 6%，新的折现率为1 6%+ 6%= 2 2%。如果股票支付某一水平的永久红利，则我们可以从红利D的原始数据知道必须满足永久债券的等式： 价格=红利/折现率 5 0 =D/ 0 . 1 4

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D= 5 0×0 . 1 4 = 7 . 0 0美元

在新的折现率2 2%的条件下，股票价值为7美元/ 0 . 2 2 = 3 1 . 8 2美元。

6.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，一股股票今天的售价为50美元，在年末将支付每股6美元的红利，贝塔值为1.2。预期在年末该股票售价是多少？

答案：r=6%+(16%-6%)*1.2=18% (P1 +D-P0 )/P0 =r

P1=50*(1+18%)-6=53美元

7.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，投资者购入一企业，其预期的永久现金流为1000美元，但因有风险而不确定。如果投资者认为企业的贝塔值是0.5，当贝塔值实际为1时，投资者愿意支付的金额比该企业实际价值高多少？

答案：

假定1 000美元是永久型债券。如果贝塔值为0 . 5，现金流应该按利率折现： 6%+ 0 . 5×( 1 6%-6%) = 11% PV=1 000/0.11=9 090.91美元

但是，如果等于1，则投资的收益率就应等于1 6%，支付给企业的价格就应该为： PV=1 000/0.16=6 250美元 其中的差额为2 840.91 美元

8.在2007年，短期国库券（被认为是无风险的）的收益率约为5％。假定一贝塔值为1的

资产组合市场要求的期望收益率为12％，根据资本资产定价模型和证券市场线： ①市场资产组合的预期收益率是多少？

②贝塔值为0的股票的预期收益率是多少？

③假定投资者正考虑买入一股股票，价格为40美元，该股票预计来年派发红利3美元。投资者预期可以以41美元卖出。股票风险贝塔值为-0.5，该股票是高估还是低估了？

答案：

① 因为市场组合的定义为1，它的预期收益率为1 2%。

②贝塔值等于0意味着无系统风险。因此，资产组合的公平的收益率是无风险利率，为5%。

③运用证券市场线，贝塔值为- 0 . 5的股票公平收益率为： E(r) = 5 %+ (-0 . 5 ) ( 1 2%-5% ) = 1 . 5%

利用第二年的预期价格和红利，求得预期收益率： E(r) = 4 4 / 4 0-1=0.10 或1 0%

因为预期收益率超过了公平收益，股票必然定价过低。

9.假定证券收益由单指数模型确定：

其中，Ri是证券i的超额收益，而RM是市场超额收益，无风险利率为2％假定有三种证券A、B、C，其特性的数据如下表所示：

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① 如果σM=20%，计算证券A、B、C的收益的方差。 ②现假定拥有无限资产，并且分别与A、B、C有相同的收益特征。如果有一种充分分散化的资产组合的A证券投资，则该投资的超额收益的均值与方差各是多少？如果仅是由B种

证券或C种证券构成的投资，情况如何？ ③在这个情况下，有无套利机会？如何实现？具体分析这一套利机会

答案： ①

② 如果存在无限数量的资产都具有相同的特征，每一种充分分散化的资产组合都将只有系统风险，因为当n很大时，非系统风险趋近于0。均值将等于各个股票(都相同)的值。 ② 没有套利机会，因为充分分散化的资产组合都画在证券市场线( S M L )上。因为它们都

是公平定价的，因而没有套利的可能。

10.假定市场可以用下面的三种系统风险及相应的风险溢价进行描述：

特定股票的收益率可以用下面的方程来确定： r＝1 5%＋1 . 0I＋0 . 5R＋0 . 7 5C＋e

使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。国库券利率为6%，该股票价格是低估还是高估了？解释原因。

解：APT的以rf和因素为基础的股票要求收益率为： 要求的E(r) = 6 + 1×6 + 0 . 5×2 + 0 . 7 5×4 = 1 6%

根据该期望公式，股票实际的预期收益率E(r) = 1 5%(因为所有因素的预期到的变动都定为0 )。因为基于风险的要求收益率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该股票定价过高。

11.股票提供的预期收益率为18％，其标准差为22％。黄金提供的预期收益率为10％，标

准差为30％。 ①根据黄金在平均收益率和波动性上的明显劣势，有人会愿意持有它吗？如果有，请用图

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形表示这样做的理由。 ②由上面的数据，再假设黄金与股票的相关系数为1，重新回答①问题。画图表示为什么有人会或不会在他的资产组合中持有黄金。这一系列有关期望收益率、标准差、相关性和假设代表了证券市场的均衡吗？

答案：①即便看起来股票要优于黄金，黄金仍然是一种极富吸引力的资产，可以作为资产组合的一部分来持有。如果黄金和股票之间的相关性足够低，它将被作为资产组合—最优切线资产组合中的一个元素持有。

②如果黄金与股票的相关系数为+ 1，则不持有黄金。最优的资本配置线将由国库券和股票构成。因为股票和黄金的组合的风险/收益集合将画出一条负斜率的直线(见下图)，则股票资产组合将优于它们。当然，这种情况不会永远持续下去。如果没有人想要黄金，则金价会下跌，它的预期收益率就会上升，直至它成为一种富于吸引力的值得持有的资产