圆锥曲线 03圆锥曲线的弦长面积问题 知识讲解及练习

2014年一轮复习

圆锥曲线的弦长面积问题

圆锥曲线 2014年高考怎么考

内容

要求层次 明细内容 了解 椭圆的定义与标准方程 椭圆的简单几何意义 抛物线的定义及其标准方程 圆锥曲线 抛物线的简单几何意义 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 √ √ 理解 √ 掌握 √ √ √ √ 自检自查必考点

题型一：弦长问题

设圆锥曲线C∶f?x,y??0与直线l:y?kx?b相交于A?x1,y1?，B?x2,y2?两点， 则弦长AB为：

AB?1?k2x1?x2?1?k2?x1?x2??4x1x2?1?k2?xa

?ya11或AB?1?2y1?y2?1?2kk

1?y1?y2??4y1y2?1?2kyAPOHBx题型二：面积问题

1. 三角形面积问题

kx?m d?PH?kx0?y0?m 直线AB方程：y?1?k2

S?ABP?11AB?d?1?k222?xa?kx0?y0?m1?k2

2. 焦点三角形的面积

直线AB过焦点F2,?ABF1的面积为

S?ABF1?c?y1 F1F2?y1?y2?cy1?y2?2ayAF1OF2x

B3. 平行四边形的面积

直线AB为y?kx?m1，直线CD为y?kx?m2 d?CH?m1?m21?k2 AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2S

?xa

ABCD?AB?d?1?k2?xa?m1?m21?k2??xm1?m2a 题型三：范围问题

首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 a2?b2?2ab(a,b?R) 变式：a?b?2ab(a,b?R?);ab?(a?b2)(a,b?R?) 2作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式： （1）S?2t2?（注意分t?0,t?0,t?0三种情况讨论） 264t?64t?t

12k21212（2）AB?3?4 ?3??3?19t?6k2?12?3?629k?2?6k2当且仅当9k2?21时，等号成立 k2222225y09x025y09x0（3）PQ?34?25??9??34?225??9??64 22229x025y09x025y02225y09x0当且仅当25?时等号成立. ?9?229x025y0132m11211m2?m2?8212?m??m(?m?8)???2 （4）S?22222223当且仅当m2??m2?8时，等号成立

（5）S?221?k22k2?m12?1?m122k2?m12?12m1(2k2?m12?1)m122??42?42?22 22221?2k1?2k1?2k1?k当且仅当2k2?1?2m12时等号成立.

例题精讲

x2y22【例1】 已知椭圆2?2?1(a?b?0)经过点A(2,1)，离心率为，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于

ab2不同的两点M,N．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若|MN|?

32，求直线MN的方程． 2