专题13 导数的概念及其运算-2016年高考数学(文)一轮复习精品资料(解析版)

【考情解读】

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

1

3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；

x

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

【重点知识梳理】

1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义

函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim作f′(x0)，即lim

Δx→0

Δx→0

f(x0??x)?f(x0) ，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记

?xf(x0??x)?f(x0)＝f′(x0)．

?x(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f'?x? 2．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式

y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ (x>0，μ≠0) y＝ax (a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x y′＝f′(x) y′＝0－[来源学科网ZXXK] y′＝nxn1，n为自然数 y′＝μxμ1，μ为有理数 －y′＝axln a y′＝ex 1y′＝ xln a1y′＝ xy′＝cos x[来源:Z*xx*k.Com] y′＝－sin x 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！

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4．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x?(3)? (g(x)≠0)． 2?g?x??′＝[g?x?]5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【高频考点突破】

考点一 利用定义求函数的导数

例1、利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．

【方法技巧】求函数f(x)的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)； Δff?x2?－f?x1?(2)计算平均变化率＝；

Δxx2－x1(3)计算导数f′(x)＝lim

Δx→0

Δf

. Δx

【变式探究】 利用导数的定义，求： (1)f(x)＝

1

在x＝1处的导数； x

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(2)f(x)＝的导数．

x＋2

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考点二 导数的运算 例2、求下列函数的导数： 11

(1)y＝＋；

1－x1＋x11x2＋＋3?； (2)y＝x?xx??π2x＋?； (3)y＝sin2?3??(4)y＝lnx2＋1.

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【方法规律】

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；

(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 【变式探究】 求下列各函数的导数： 11

(1)y＝＋；

1－x1＋xcos 2x

(2)y＝；

sin x＋cos x(3)y＝(1＋sin x)2； (4)y＝lnx2＋1.

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