FDTD

2.1 FDTD演算法

FDTD(Finite-Difference Time-domain) 时域有限差分法是对电磁波进行仿真和模拟，FDTD 方法在 1966 年首次被提出，之后便得到迅速发展和广泛应用，现已在诸多领域取得研究成果和应用价值。该方法使用麦克斯韦方程对电磁场进行计算模拟的数值分析方法，由麦克斯韦方程组可推导出：

?????(r?E1)????H??E （2.1） ?t?(r)?(r)????B????E?Jm （2.2） ?t??(r),?(r),?(r)分别是介质的介电系数，电导率，磁导系数，都为位置的函数。将公式（2.1）、(2.2)在直角坐标系下展开得：

???Hx?Ez?Ey??????mHx?y?z?t?Hy?Ex?Ez??????mHy （2.3） ?z?x?t?Ey?Ex?Hz??????mHz?x?y?t?Ex?Hz?Hy?????Ex?y?z?t?Ey?Hx?Hz?????Ey ?z （2.4） ?x?t?Hy?Hx?Ez?????Ez?x?y?t在 FDTD离散中电场和磁场各节点的空间排布如图2.1所示，这就是著名的Yee元胞。

图2.1 Yee元胞示意图

由图示可以看到，每一个磁场分量都由四个电场分量环绕；同样，每一个电场分量由四个磁场分量环绕。此外，电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使用麦克斯韦旋度方程离散，使之构成显式差分方程，从而可以在时间上进行迭代求解。因此，由给定相应的电磁场问题的初始值和边界条件，FDTD方法就可以逐步推广的求解三维空间电磁场。

2.2 差分表达式

若设观察点(x,y,z)为Ex的节点，以及时刻t?(n?1)?t，于是，(2-3)式中第一式的离散为：

11Exn?1(i?,j,k)?CA(m)?Exn(i?,j,k)22?Hzn?1/2(i?1/2,j?1/2,k)?Hzn?1/2(i?1/2,j?1/2,k)?CB(m)????y?n?1/2n?1/2Hy(i?1/2,j,k?1/2)?Hy(i?1/2,j,k?1/2)???z?? （2.5）

式中

?(m)?t2?(m)CA(m)? （2.6）

?(m)?t1?2?(m)1??t?(m)CB(m)? （2.7）

?(m)?t1?2?(m)上式m=(i+1/2,j,k)。

同样(2-3)式中其余两式离散后的形式为：

n?1nEy(i,j?1/2,k)?CA(m)?Ey(i,j?1/2,k)n?1/2?Hx(i,j?1/2,k?1/2)?Hxn?1/2(i,j?1/2,k?1/2)?CB(m)??? （2.8） ?z?Hzn?1/2(i?1/2,j?1/2,k)?Hzn?1/2(i?1/2,j?1/2,k)???x?式中m=(i,j+1/2,k)，以及：

Ezn?1(i,j?1/2,k)?CA(m)?Ezn(i,j,k?1/2)n?1/2n?1/2?Hy(i?1/2,j,k?1/2)?Hy(i?1/2,j,k?1/2)?CB(m)??? （2.9） ?x??Hxn?1/2(i,j?1/2,k?1/2)?Hxn?1/2(i,j?1/2,k?1/2)???y?式中m=(i,j,k+1/2)。

离散磁场时，设观察点(x,y,z)为Hx的节点，即（i,j+1/2,k+1/2）和时刻t?n?t，于是(2-4)式可以离散为如下形式：

n?1/2n?1/2Hx(i,j?1/2,k?1/2)?CP(m)?Hx(i,j?1/2,k?1/2)?Ezn(i,j?1,k?1/2)?Ezn(i,j,k?1/2)?CQ(m)????y?nnEy(i,j?1/2,k?1)?Ey(i,j?1/2,k)???z??n?1/2n?1/2Hy(i?1/2,j,k?1/2)?CP(m)?Hy(i?1/2,j,k?1/2)n?Exn(i?1/2,j,k?1)?Ex(i?1/2,j,k)?CQ(m)????z?Ezn(i?1,j,k?1/2)?Ezn(i,j,k?1/2)???x? （2.10）

（2.11）

Hzn?1/2(i?1/2,j?1/2,k)?CP(m)?Hzn?1/2(i?1/2,j?1/2,k)nn?Ey(i?1,j?1/2,k)?Ey(i,j?1/2,k)?CQ(m)????x?? （2.12）

Exn(i?1/2,j?1,k)?Exn(i?1/2,j,k)???y?式中系数CP(m)和CQ（m）分别为：

?m(m)?t2?(m)CP(m)?

?m(m)?t 1?2?(m)1? （2.13）

?t?(m)CQ(m)? ?m(m)?t

1?2?(m) （2.14）

其中上角标n-1/2,n,n+1/2,n+1表示时间步数，系数中的标号m代表一组整数或者半整数： (2-10) 式中 m=(i,j+1/2,k+1/2)，(2-11)式中m=(i+1/2,j,k+1/2)，(2-12)式中m=(i+1/2,j+1/2,k)，?t是时间步长。?x，?y，?z是相邻的格点在 x、y、z方向的间距，根据上述 FDTD差分方程组即可得出计算电磁场的时