误差函数erf

误差函数erf

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数）是一个非基本函数（即不是初等函数），其在概率论、统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。 自变量为x的误差函数定义为：

且有erf(∞)=1和erf(-x)=-erf(x)。

- - - 余补误差函数erfc(x)定义为：

误差函数的导数为：

等等 - - -

误差函数的重积分定义为：

- - - 且

可得

-

误差函数的级数展开式为：

高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括： 在统计学与机率论中，高斯函数是常态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限机率分布。

高斯函数是量子谐振子基态的波函数。

计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。

在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起著重要作用。 高斯函数与量子场论中的真空态相关。 在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。

高斯函数在图像处理中用作预平滑核。