2012届高考数学理科二轮专题限时卷：函数、导数及其应用6

第二部分：函数、导数及其应用（6）

(限时：时间45分钟，满分100分)

一、选择题

?1?a

1．(2011年黄冈模拟)设a∈?－1，1，，3?，则使函数y＝x的定义域是R，且为

2??

奇函数的所有a的值是( )

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

1a

【解析】 分别验证a＝－1,1，，3知当a＝1或a＝3时，函数y＝x的定义域是

2

R且为奇函数．

【答案】 A

2．如图，是二次函数y＝ax＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( ) ccA. B．－ aac

C．± D．无法确定

a

2

?c?【解析】 ∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝?? ?a?

c

＝－(∵a<0，c>0)．

a【答案】 B

3．方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A．0

C．a≤1 D．0

1

【解析】 当a＝0时，x＝－，故排除A、D；

2当a＝1时，x＝－1，排除B， 【答案】 C

4．(2012年济宁调研)已知函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象经过点(－1,3)和(1,1)，

若0

A．[2,3] B．[1,3]

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2

C．(1,2) D．(1,3) 【解析】

??a－b＋c＝3???a＋b＋c＝1

?a＋c＝2?c＝2－a.

∵0

5．(2011年山东淄博)

幂函数y=x-1及直线y=x，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如右图所示)，那么幂函数y=x的图象经过的“卦限” 是( )

A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤

1【解析】 由0＜x＜1，y＝x＞x，x＞1时，y＝x＜x知，y＝x的图象经过①⑤“卦

2

限”．故选D.

【答案】 D 二、填空题

6．已知幂函数f(x)＝x满足3f(2)＝f(4)，则f(x)的表达式为________． 【解析】 ∵3f(2)＝f(4)，∴3·2＝4. ∴2＝3，即n＝log23.∴f(x)＝xlog23. 【答案】 f(x)＝xlog2 3

7．当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________． 【解析】 ∵x＋mx＋4<0，对x∈(1,2)恒成立．

2

2

n

n

n

n

?4?2

∴mx<－x－4，即m<－?x＋?对x∈(1,2)恒成立．

?x?

4

又根据函数单调性定义知f(x)＝x＋在x∈(1,2)上为递减函数，

x4?4?∴4

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8．(2011年丰台月考)已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)

＝1，若f(x)在区间[m，n]上的值域是[m，n]，则m＝________，n＝________.

【解析】 f(1+x)=f(1-x) ∴对称轴x=1， ∵f(0)=0，f(1)=1. 如右图．

∴当x∈[m，n]的值域是y∈[m，n]， ∴m=0，n=1. 【答案】 m=0，n=1 三、解答题

9．已知幂函数y＝xm－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减

mm

函数，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围．

33

【解析】 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N＋，∴m＝1,2， 又∵函数图象关于y轴对称，

∴m－2m－3是偶数，而2－2×2－3＝－3为奇数， 1－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.

1

而y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，

3

11

∴(a＋1)－＜(3－2a)－等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜

33

3－2a.

23

解得a＜－1或＜a＜. 32

23

故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}．

32

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10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a， 且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．

若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式． 【解析】 ∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)． ∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.因而

f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax－(2＋4a)x＋3a.① 由方程f(x)＋6a＝0得ax－(2＋4a)x＋9a＝0.②

因为方程②有两个相等的根，所以 Δ＝[－(2＋4a)]－4a·9a＝0， 12

即5a－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－.

5

11263

由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式f(x)＝－x－x－.

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