异面直线的距离的四种求法附例题讲解

异面直线的距离

确定和计算两条异面直线间的距离，关键在于实现两个转化：

一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离；

二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。

1．直接法

根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。 例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)． 求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．

解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心． ∵SO⊥AC，BO⊥AC， ∴AC⊥面SOB．

在△SOB中，作OH⊥SB于H①，

根据①、②可知OH是AC与SB的距离．

∵OH·SB＝SO·OB，

2．转化法

把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离． 例：在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC中，母线长为a，底面圆的直径为AC，∠CAB＝60°． 求：异面直线SA与BC的距离．

解：如图L2-17，易知SA与BC不垂直，可考虑过SA作一个平面与BC平行，转化为求直线与平面间的距离．

作AD∥BC交底面圆⊙O于D点．∵BC∥AD，∴BC∥平面SAD，取AD、BC的中点E、F，则平面ADS⊥平面SEF，过F点作FH⊥SE于H，则FH⊥平面SAD．

所以FH为直线BC与平面SAD间的距离，也就是异面直线SA与BC的距离．

在△SEF中，由FH·SE＝EF·SO，

3．等积法

不用作出异面直线间的距离，利用同一个几何体的体积为定值，布列方程来求异面直线间的距离．

例如上面的例2，在求SA与BC间的距离时，我们转化为求平行的BC与平面SAD间的距离，可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算．

设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为

而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为

4．极值法

不必作出异面直线间的距离，利用异面直线上两点间距离的最小值的性质，适当列出函数式，求此函数的最小值．

还是以例2来说，在求异面直线SA与BC间的距离时，可先在SA任取一点D，作DE⊥直径AC于E，则DE⊥底面圆．再作EF⊥BC于F，则有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA与BC间的距离．