33 规律探索型问题

当n?3时：1?3?5?1?3??2?3?1??9?32 当n?4时：1?3?5?7?1?3?5??2?4?1??16?42 猜想：1?3?5?7??????2n?1?=n2

点评：在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。 16．（湖南株洲市3,16）一组数据为：x,?2x2,4x3,?8x4,?观察其规律，推断第n个数据应为 . 【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数，第二个数据的系数是负数，字母的次数从1，2，3依次排列，所以(?1)n?12n?1xn 【答案】(?1)n?12n?1xn

【点评】根据题目的条件列出算式，找出算式中的规律得出乘积。

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10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A.2010 B.2012 C.2014 D.2016

【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.

【答案】：D

【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.

9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，?，则第⑥个图形中五角星的个数为( )

解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，?6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72. 答案：D

点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。

14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;??;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.

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【解析】根据题意，得5=21+23+25+27+29，6=31+33+35+37+39+41，所填41. 【答案】41

【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.

16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；??，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留π）

3

3

【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。 【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=第n个半圆的面积为

1212π（

12×8）2：

12π（

12×8）2=4.

π（

12×2n－1）2=π22n－5。

【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。

专项二 规律探索型问题

8.（2012江苏盐城，8，3分）已知整数a1,，a2，a3，a4，?满足下列条件：a1=0，a2=-a1?1,a3=-a2?2,a4=-a3?3,?依次类推，则a2012的值为 A．-1005 B．-1006 C．-1007 D． -2012

【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,，a2，a3，a4?的值，再寻找规律

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【答案】由于a1=0，a2=-

a1?1=-1，a3=-a2?2=-1，a4=-a3?3=-1006,故选B．

=-2，

a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ??,所以a2012=-

20122【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想．

10. （2012浙江省绍兴，10，3分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；?；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）

第10题图

A.

5?32125 B.

3595?2 C.

5?32146 D.

37115?2

52【解析】解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D是BC的中点，所以AD=一组对称点，所以AP1=12521252，因为点A、D是52×3212，因为是D1是D P1的中点，所以A D1=125212321252×

12×5232，即AP2=1232×12125

×

32×

5，同理AP3=××（×），?APn=

2

××（×），所以AP6=

n-1

××（×）=

5?3212，

故应选A ． 【答案】A

【点评】找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．

10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

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