人教A版高中数学必修4第一章-三角函数-复习学案

第一章 三角函数

一、任意角

1．广义角 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角．

按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． 角 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 的 第一象限角{α|k?360°＜α＜90°+k?360°，k∈Z} 分 象限角 第二象限角{α|90°+k?360°＜α＜180°+k?360°，k∈Z} 类 第三象限角{α|180°+k?360°＜α＜270°+k?360°，k∈Z} 按终边的位置分 第四象限角{α|270°+k?360°＜α＜360°+k?360°，k∈Z} 或{α|－90°+k?360°＜α＜k?360°，k∈Z}

轴上角（象间角）：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限．

2．终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+ k?360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 3．几种特殊位置的角：

（1）终边在x轴上的非负半轴上的角：α= k?360°，k∈Z； （2）终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+ k?360°，k∈Z； （3）终边在x轴上的角：α= k?180°，k∈Z； （4）终边在y轴上的角：α=90°+ k?180°，k∈Z； （5）终边在坐标轴上的角：α= k?90°，k∈Z； （6）终边在y=x上的角：α=45°+ k?180°， k∈Z；

（7）终边在y=－x上的角：α= －45°+ k?180°， k∈Z或α=135°+ k?180°， k∈Z； （8）终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α= k?45°，k∈Z． 例1 已知α为锐角，那么2α是（ ）．

A．小于180°的正角 B．第一象限的角 C．第二象限的角 D．第一或第二象限的角 答案：A

解析：∵α为锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，故选A．

例2 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（ ）．

1 / 9

A．150° B．－150° C．390° D．－390° 答案：B

解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，∴120°＋（－270°）＝－150°． 例3 如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（ ）．

A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°}

C．{α|k?360°－45°≤α≤k?360°＋120°，k∈Z} D．{α|k?360°＋120°≤α≤k?360°＋315°，k∈Z} 答案：C

解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是k?360°－45°≤α≤k?360°＋120°，k∈Z，故选C．

二、弧度制

1．弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示． 2．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是??l． rn?r相关公式：（1）l???r；

1804．角度制与弧度制的换算：（1）1?=1n?r21??r2． （2）S?lr?23602?180rad；

（2）1rad＝(180?)?．

例1 扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（ ）弧度． πππ

A．π B． C． D．

234答案：C

π

解析：∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是弧度．

3例2 在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有（ ）．

A．α＝－β B．α＝－2kπ±β（k∈Z） C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β（k∈Z） 答案：D

解析：将α旋转π的奇数倍得β．

例3 在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（ ）．

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π3π2πA．cm B．πcm C．cm D．cm

323答案：B

π解析：由弧长公式得，l＝|α|r＝×3＝π（cm）．

3

三、三角函数定义

1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y； （2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x； （3）

yy叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）． xx3．同角三角函数的基本关系

平方关系：sin2??cos2??1 ? sin???1?cos2?；cos???1?sin2?． 商的关系：当α≠kπ+

πsin?（k∈Z）时，?tan?． 2cos?4

D．－

5

例1 已知角α的终边经过点（－4，3），则cosα＝（ ）． 433A． B． C．－ 555答案：D

x4解析：由条件知：x＝－4，y＝3，则r＝5，∴cosα＝＝－．

r5例2若sinθ?cosθ＜0，则θ在（ ）．

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 答案：D

解析：∵sinθcosθ＜0，∴sinθ，cosθ异号．当sinθ＞0，cosθ＜0时，θ在第二象限；当sinθ＜0，cosθ＞0时，θ在第四象限．

4

例3已知角α的终边经过点P（－b，4），且sinα＝，则b等于（ ）．

5A．3 B．－3 C．±3 D．5 答案：C 解析：r＝|OP|＝

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b2＋16，sinα＝

4b2＋16

4

＝，∴b＝±3． 5

四、三角函数的诱导公式

公式一 公式二 公式三 公式四

sin???k?2???sin?cos???k?2???cos? cos???????cos? cos?????cos? cos???????cos? tan???k?2???tan?tan????tan?【注】其中k?Zsin???????sin?sin??????sin?sin??????sin???tan??????tan?tan???????tan?公式一到四可以概括如下：??k?2? ?k?Z?，??，???的三角函数值，等于?的同名函数值，前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号．

公式五 公式六

??????sin?????cos?sin?????cos??2??2? ??????cos??????sin?cos?????sin??2??2???????tan??????cot?tan?????cot??2??2?公式五、六可以概括如下：

?2??的正弦（余弦）函数值，分别等于?余弦（正弦）函数值，前面

加上一个把?看成锐角时原函数值的符号（奇变偶不变，符号看象限）． 例1 sin600°＝（ ）．

1133A．－ B． C．－ D．

2222答案：C

解析：sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－例2 已知角θ的终边过点（4，－3），则cos（π－θ）＝（ ）． 4433A． B．－ C． D．－

5555答案：B

x44解析：由题意，知cosθ＝＝，∴cos（π－θ）＝－cosθ＝－．

r55例3 下列各三角函数值：

37π37πsin3

①sin1125°；②tan?sin；③；④sin1－cos1．

1212tan3其中为负值的个数是（ ）．

A．1 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B

3

． 2

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