相似三角形的判定及性质导学案

第一课时 相似三角形的判定

例2. 如图，在△ABC内任取一点D，连接AD和BD。点E在

【学习目标：】

△ABC外，?EBC=?ABD，?ECB=?DAB。 1. 理解相似三角形的判定定理及其引理。

求证：△DBE∽△ABC。 2. 灵活掌握并会应用相似三角形的判定定理及其引理。 【学法指导】

阅读课本P10—P16，理解定理的证明方法及内容，自学例题，体会如何根据已知条 【梳理知识】

1. 相似三角形的定义：

对应角_______，对应边____________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形 对应边的比叫做_____________。 2.. 相似三角形的判定定理：

(1) __ 变式：将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假(2) 设图中所有点线都在同一平面内，找出图中所有相似的三角形，(3)

并证明其中的一对相似。 预备定理: 引理: 3.直角三角形相似的判定定理

(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ (3)_______________________________________________

【例题探究】

例1. 如图，圆内接△ABC的角平分线CD延长后交圆于一点E。

求证：EB EC?DBCB

1

【课堂练习】

4. 已知

?ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和

1. 点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，△ACD∽△ABC。 BC于E、F两点，证明：AF·AD＝AG·BF. A

D B C

第1题

2. 在Rt △ ABC中， ∠ABC=90°0，BD⊥AC于D，若 AB=6，AD=2 ，则AC=______，BD=________，BC=_________.

A

D

B

C

第2题

3、 如果一个圆过△ABC的顶点B和C，并且分别交AB、AC于点D和点E， 求证：ADAC?AEAB.

5. 如图，已知：2

DE∥AB，EF∥BC。求证：△DEF∽△ABC

第二课时 相似三角形的性质

【学习目标】

1. 理解相似三角形的性质定理的证明。

2. 掌握并会应用相似三角形的性质定理进行有关的计算与证明。 【学法指导】

阅读课本P16—P18，理解定理的证明方法，自学例题，根据问题1的探究方法试着探究问题2。 【梳理知识】

相似三角形的性质定理：

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______； 相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_____________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

【例题探究】

【课堂练习】

1. 如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为 cm．

2. 如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则AF∶FC= . A ┐ ┐

3．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ．

4.如图，平行四边形ABCD中，AE:EB=1:2, △AEF的面积等于6cm2，则△CDF的面积等于_____;平行四边形ABCD的面积等于________. 5.如图，线段EF平行于

D B

第2题

第4题

第1题

例1.两个相似三角形相似比为3:2，面积之和为39cm2，求这两个三角形面积。

例2.如图，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE=

1CD。 2?ABCD的一边AD，BE与CF交于一点G，AE与DF交于

一点H，求证：GH∥AB。

(1)求证：△ABF∽△CEB

(2)若△DEF的面积是2，求平行四边形ABCD的面积。

6. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB

上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.

3

例3.如图，要测量树AB的高，可以利用相似三角形的知识，请你设计几种测量方案，并说明没种方案的理由。

直角三角形的射影定理

【学习目标】

1.利用直角三角形相似的判定和性质推导射影定理。 2.灵活运用射影定理进行相关计算与证明。 【学法指导】

1. 阅读课本P20—P22，理解射影定理的证明方法，试着自己解答例题。 2. 完成知识梳理和练习册P19自主练习

【课前练习】

例3. 已知如图，在矩形ABCD中，AB:BC=5:6,点E在BC上，点F在CD上，且EC=

3FC=CD，FG⊥AE于G。 求证：AG=4GE

51BC，6

【课堂练习】

1.在△ABC中，?C=90°，CD是斜边AB上的高。已知CD=60，AD=25， 则BD=_______，AB=_______，AC=_______，BC=_______.

2.如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8， 则圆O的半径等于_____．

3.一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上的射影的比是________． ⊥F，

4.如图，△ABC中∠BAC=60°CD⊥AB

1求证：BD=AB-AC

2D B

直角三角形的射影定理：

直角三角形一条直角边的平方等于 ， 斜边上的高等于 ．

【探究练习】

例1. 如图，若AD=2cm，DB=6cm，求CD、AC、BC的长。

例2. 如图所示，在△ABC中，?CAB=90°，AD

BC于D，BE是?ABC的平分线，交AD于求证：

DFAE?。 AFECC A

B O D

A

60°

C

4

5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。 求证：CF · AC = CG · BC

6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，

求证：△CEF∽△CBA

课后练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10）七、课后练习

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式． 3．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

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