流体力课后习题详解 2 - 图文

37

u??????y,v?????x。由此得???x??h?2?2?C????y??y??2????2,?0积分???y得C3?h???C??y?y?C123??其中，依据???x?0知，积分常数不依赖x。下壁面是一条流线，选取该流线上??0。将??y??h/2??0代入上式，得?h??h?c?h?????0?C??????????2?3?2??2??可解出C1?23?C1ch123,故流函数为13???1414chy?2cy23?11213ch3?250?0.2y??250y3?112?250?0.23?52y?2503y3?16(2)单宽流量

3?5?h?0.2250?0.2?1??m???q?????y????????2?223?2?6?????3sm?0.333m3sm4-28 设有一上端开口、盛有液体的治理圆筒如图所示，绕其中心铅直轴作等速运动，角速度为

?。圆筒内的液体也随作

等速运动，液体质点间无相对运动，速度分布为

u???y,v??x,w?0。试用欧拉方

程求解动压力

p的分布规律及自由液面的形状。

解 作用在液体上的单位质量力

X?0,流体质点的加速度为

Y?0,Z??g

ax??u?t?u?y?t?u?x?v?u?y?w2?u?z?????y?t??0?0?0

??????v???x38

ay????t?x?t?u??u???x??2???y?????z????x?t??0?0?0?????yaz?0

根据欧拉运动方程，有

?1?p?X???x?1?p??Y???y?1?p?Z????z?故

压

?ax?ay?az?1?p0????x?1?p?即

0????y?1??g????强

??p2???x???x??x???p22或????y???y??y??p?p??g??0???z?z2

全导数

dp??p?xdx??p?y2dy?2?p?zdz???xdx???ydy?g?dz222??x积分得p????2??y22??gz??C?0?x,y?0?设自由面上

?0.0?处z?z???gz??C或C?0。由于该处p?0，故?g?z22因此，压强分布为??rp????2??gz?gz0??方程

将p?0代入上式，得到自由面12?r22?g?z?z0??04-29 图示一平面孔口流动（即狭长缝隙流动），因孔口尺寸较小，孔口附近的流场可以用平面点汇表示，点汇位于孔口中心。

已知孔口的作用水头H=5m，单宽出流流量

q?20Lsm，求图中a点的流速大小、方向和压强。

解 小孔口流动相当于强度2q的平面点汇流动。根据平面点汇流动的流速公式，有

39

ur?2q2?r,u??012在a点，ra??22??35m,该处的流速的大小为

ura?2q2?ra?2?20?102??5ms?0.0028ms流速方向沿着a点与孔口中心连线的方向。

在过a点连线上，自由面与a点之间的伯努利方程为

za?pg??ura2g2?z0其中

z0表示自由面高程，

p表示a点的压强。将

z0?za?H?1代

2入上

2式，得

?0.0018?H?1???5?1?g?2g2g?故a点压强为6m水柱高。

pura??m?6m?

4-30完全自水流井汲水时产生的渗流场可以用平面点汇流动求解。图示自流井位于铅直不透水墙附近，渗流场为图示两个点汇的叠加，两者以不透水墙为对称面。求汲水流量 分布。

解 该渗流场相当于（-2，0）点上强度Q的点汇和 （+2，0）点上强度Q的点汇的叠加。对于x=a处的点汇诱导的流场，有

Q?1m3s时，流动的势函数 ? ，以及沿壁面上的流速

流函数

?1??Q?12? ；势函数

?1??Q2?lnr1

对于在x=-a处的点汇诱导的流场，有

流函数

?2??Q?22? ；势函数

?2??Q2?lnr2

根据势流叠加原理，两个点汇叠加诱导的流场中任一点P（x，y）处的流函数、势函数分别为

40

???1??2??Q2????ln1??2????1??2?? 当Q?1m3Q2?r1?lnr2???12??1Q2?ln?r1r2?=0壁面上，有s 时，有?? ?ln?r1r2? 。在x?1?tan?1yx?a,?2?tanyx?a?x?a???y??Qy?2?2?y???a?y壁面上流函数值为????tan2??Q??1yx?a?tan?1y根据对称性，在xu?0,???当Q=1、a???x=0壁面上，有?Q??y2?22??a?y?y?a22?=2时，有2???y??22?y????4?y2?，外部

4-31 图示一盛水圆桶底中心有一小孔口，孔口出流时桶内水体的运动可以由兰金涡近似，其流速分布如图所示：中心部分

?ru?r?r0?为有旋流动

u?r???r?r?r0? 为有势流动

??ur0/r0，其中

u0?u?r?r0? 。设孔口尺寸很小,r0也很小，圆桶壁面上的流速

（2）求水面的形状 ? 的径向分布；

uR?u?r?R解（1）速度环量 ???积分，得

?2?0?0，流动是恒定的。（1）求速度环量

u?rd?。对中心部分

?r2?r0? 的流速分布式u?r

???r????r02?0?r2d??2??ru?r对外部

?r??的流速分布式

??ur0/r0积分，得

??2?0r0rurd?0?2?r0u0

（2）在外部

?r?r0? ，依据无旋流动的伯诺里方程，对任意点均有