微积分的发展和应用

各种问题，力求建立微积分的完整体系。他还在符号的选择上花费了大量时间，用?来表示积分，用dx表示x的微分。

他们也有一些相同点，他们创造了一门新的学科，用代数的方法从过去的几

何形式解脱出来，都研究了微分和反微分之间的互逆关系。两位都是数学大师都独立创造了微积分，对数学的发展影响深远。

3微积分的发展及完善

自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以后，微积分有了蓬勃的发展。

18世纪，欧拉这一时期最为著名，他的成就主要在《无穷小分析引论》《微分学》《积分学》三部微积分著作中，他正确认识了无穷小，认为无限小或消失的量是一个趋于零的量。此后还有洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家，也对微积分做了很多贡献。

把微积分开的重要概念建立在极限理论的基础上并作出严格讲述的首推意大利的波尔查诺，他定义F?x?对x的导数是F'?x?当?x或正或负地趋于零时，比值

F?x??x??F?x??x所无限接近的量。

之后柯西给出了无穷小的严格的极限定义，并定量给出了高阶无穷小，微分定义：若dx是有限常量，则y?f?x?的微分dy定义为f?x?dx。同样他也给高阶微分适当的定义。柯西认为有必要对微积分的两个基本概念——导数和积分，做出相互独立的定义，他从极限概念出发定义积分，他假定函数f?x?在?x0,x?上连续，柯西作出特征和式

n Sn??f?x??xi?1i?1i?xi?1?，

若当xi?xi?1无限减小时，Sn以S为极限，则这个S就是f?x?在?x0,x?上的定积分，他用傅里叶的符号表为F?x??定积分F?x???xx0f?x?dx，他还指出：若f?x?连续，那么由

?xx0f?x?dx所定义的函数以f?x?为它的导数。柯西的定积分的定

义，在历史上，价值是非常大的。

黎曼在柯西的基础上将积分推广到在区间?a,b?上定义的有界函数，设f?x?在?a,b?上有界，将?a,b?以任意方式分割成n个子区间?xi，?i?1,2,?,n?其长度亦用?xi表示。则得到和式

n Sn?

， ?f?x??x（x为?x上任一点）

iiiii?18

当n??，若Sn的极限（指有限极限）存在且为S，则S就是f?x?Max?xi?0时，在?a,b?上的积分，而上述和式为黎曼积分和。

二十世纪初法国数学家勒贝格提出了勒贝格积分，勒贝格理论主要包含了点集的测度、可测函数和勒贝格积分概念。1872 年,康托提出集合论，引入点集概念,间断点可以作为一个整体加以考察，这样就为间断点与可积性关系的研究提供了方法，勒贝格在此基础上推广了长度,建立点集测度的概念,同时, 定义了外测度m*?E?和内测度m??E?，且当m*?E??m??E?m时,称E为可测集,并称内、外测度的公共值I为点集E的测度。勒贝格的测度概念使得黎曼可积函数类变得十分明晰。勒贝格又定义在可测集上的函数为可测函数,即E是一有界可测集,

f?x?是定义在E上的实函数,如果对任一实数a,点集E??x:f?x??a?恒为勒

贝格可测集,则f?x?为E上的可测函数。勒贝格积分的概念：设y?f?x?是定义在区间?a,b?中可测集E上的有界可测函数，记

A?inff?x?,B?supf?x?

勒贝格将区间?A,B?用分割T分为n个子区间?lk?1,lk??k?1,2?,n,?，其中

l0?A,nl?B，记ek?xlk?1?fn??x??lk,x?E?，则每个ek均为可测集，分别令

n S?T??则存在

?lk?1km?ek?,s?T???lk?1m?ek?,

k?1 S?infS?T?,s?supS?t?.

勒贝格证明了对于有界可测函数y?f?x?，恒有S?s。他定义它们的公共值I便是f?x?在E上的勒贝格积分，记为I?I??Ef?x?dx（当E??a,b?时，仍记

?baf。 ?x?dx）

经过不断的发展，这之中微积分建立了严格的基础体系，这一阶段的微积分，通常被人们称做标准分析。而在二十世纪以后又产生了复分析，泛函分析等许多微积分的重要分支，使微积分的发展又上到一个高度。

4微积分的应用

微积分的应用是相当广泛的，很多学科都可以找到它的身影，我们就简单介绍一下。

4.1在数学学科中的运用

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数学学科中很多地方，都会用到微积分，又很多又是在微积分的基础上发展而来的。

微分方程，微积分的产生和发展，与人们求解微分方程的需要有很密切的关系。所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数，及其导数在内的方程。它包括常微分方程和偏微分方程。

凡是联系自变量x，与这个自变量的未知函数y?y?x?，和它的导数

y?y''?x?以及直到

'n阶导数

dydxy??n??y?n??x?在内的方程 ?x?0?,dydx?1?y2Fx,y,y,?,y??n???0叫作常微分方程。如

1xy?x3等。简

单介绍下积分因子法，假若方程

P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0

是恰当方程，则它的通积分为

?xx0P?x,y?dx??yy0Q?x0,y?dy?C.

对方程设法寻找一个可微的非零函数????x,y?，使它乘以方程后得 ??x,y?P?x,y?dx???x,y?Q?x,y?dy?0 成为恰当方程，即

???P??y????Q??x.

这时函数????x,y?叫做方程的一个积分因子。还要验证积分因子是否存在，就得出一定理：微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0有一个只依赖于y的积分因子的充要条件是：表达式

??Q?x,y??P?x,y??????HP?x,y???x?y?1?y?

H?y?dy只依赖于y；而且此时函数??y??e?是微分方程的一个积分因子。

举个例子，求解微分方程?x3y?2y2?dx?x4dy?0. 将方程左边分组得

?x3ydx?x4dy??2y2dx?0 我们寻找可微函数g1和g2，使

1x3g1?xy??1y2g2?x?.

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只要取

g1?xy??1?xy?2,g2?x??1x5.

从而得到原方程的积分因子 ??1xy52.

然后它乘以分组后的方程，得到全微分方程

1?xy?2d?xy??2x5dx?0.

积分此式，得到方程通解 y?2x432Cx?1，

其中C为任意常数；外加特解x?0，和y?0.

如果微分方程中的未知函数是多元函数，那么这种方程就叫做偏微分方程。而现实中偏微分方程联系着很多实际的问题。如波动方程：

?u?t22?a2?u?x22?f?x,t?，其中f?x,t??F?x,t??表示单位质量在x点处所受的外力。

等等，其中用到微积分的地方很多。

微分几何。欧几里得空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用，而Gauss关于曲面的理论，建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几里得几何推广到曲面上“弯曲”的几何，使微积分几何真正成为一个独立的学科。其中求曲线的曲率挠率是很简单的例子，如求曲线r?t???t,sint?的曲率。 此时有

因此

t?n为t逆时针转90°

n??1?cost?2?12dsdt?1?cost2 drdtdtds??1?cost?2?12?1,cost?

??cost,1?

代入kn?dtds?dtdtdtds，计算可得

2?32 k?t???sin?1?cost?

还有Gauss-Bonnet公式：设D是曲面S上的一块单连通区域，?D是分段光滑闭

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