高中数学 第三章 指数函数和对数函数单元测试 北师大版必修1

指数函数和对数函数单元测试三

本试卷满分：100分 考试时间：90分钟 班级________ 姓名________ 考号________ 分数________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.aaa用分数指数幂表示为( ) 323433A．a B．a C．a D．a 答案：C 解析：2aaa＝(a·(a·a))＝a，故选C. 31213123412．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( ) 31A．9 B. 91C．25 D. 25答案：D 1lg 3lg 6lg xlg x解析：由换底公式，得··＝2，所以－＝2，即lg x＝－2lg 5＝lg lg 5lg 3lg 6lg 511，所以x＝. 25252x3．函数y＝(a－3a＋3)·a是指数函数，则( ) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1 答案：C a－3a＋3＝1，??解析：由?a＞0，??a≠1，x2 解得a＝2.故选C. 3，x∈[－1，0??4．若f(x)＝??1?x－??，x∈[0，1]???3?33 B．－ 331C．－ D．－2 2答案：A A. ，则f(f(log32))的值为( ) 1?1?log321?13??解析：∵f(log32)＝－??＝－，∴f(f(log32))＝f?－?＝32＝. 23?3??2?5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )

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A．10天 B．15天 C．19天 D．20天 答案：C x解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2， 当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．故选C. 6．指数函数y＝f(x)的反函数的图像过点(2，－1)，则此指数函数为( ) 1xxA．y＝() B．y＝2 2xxC．y＝3 D．y＝10 答案：A 解析：利用互为反函数的两个函数的关系知该指数函数过点(－1,2)，代入函数式y＝xa求出a即可． －1,37．若x∈(e1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝lnx，则( ) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 答案：C －1,解析：∵x∈(e1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝2lnx∈(－2,0) c＝ln3x∈(－1,0)． 3令lnx＝t∈(－1,0)．则t＞t＞2t. ∴b＜a＜c，故选C. 8．函数y＝[log1 (5x－3)]的定义域是( ) 234434A．x≤ B.≤x＜ 555334C．x＞ D.＜x≤ 555答案：D 34解析：若使函数有意义，则需log1 (5x－3)≥0，其同解于0＜5x－3≤1，解得＜x≤. 5529．函数y＝log1 (4x－x)的值域是( ) 22A．[－2，＋∞) B．R C．[0，＋∞) D．(0,4] 答案：A 22解析：令t＝4x－x，则t＝－(x－2)＋4， ∴0＜t≤4，而y＝log1t在(0,4]上为减函数， 21－2∴t＝4时，ymin＝log14＝log1 ()＝－2， 222∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)，故选A. 10．二次函数y＝ax＋bx与指数函数y＝()的图像只可能是图中的( ) 2bax答案：A 2

解析：由指数函数y＝()的图像知0＜＜1.所以y＝ax＋bx的图像过(0,0)点，与x轴的另一个交点在x轴负半轴上，故A符合． 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 2x－111．已知函数f(x)＝a－1(a>0，且a≠1)的图象过定点，则此定点的坐标为________． ?1?答案：?，0? ?2?1?1?2x－1解析：由2x－1＝0，得x＝，所以函数f(x)＝a－1的图象过定点?，0?. 2?2?212．函数y＝log2(x＋2x)的单调递增区间是________． 答案：(0，＋∞) 22解析：由x＋2x>0，得x<－2或x>0.令t＝x＋2x，因函数y＝log2t在(0，＋∞)上单222调递增，又t＝x＋2x＝(x＋1)－1在[－1，＋∞)上单调递增，故函数y＝log2(x＋2x)的单调递增区间是(0，＋∞)． ?1?＝4，则f(2014)＝________. 13．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f???2014?答案：0 ?1?＝alog1＋blog1＋2＝4，得－alog2014－blog2014＝2.∴解析：由f??232320142014?2014?alog22014＋blog32014＝－2，∴f(2014)＝alog22014＋blog32014＋2＝0. 三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．解方程： 2(1)log2(x－x－2)＝1＋log2(x－1)； x＋1－x(2)3－3＝2. 2解：(1)log2(x－x－2)＝log22(x－1)． 2∴x－x－2＝2x－2.解得x＝0，x＝3，经检验，x＝3是原方程的根． 1x(2)3·3－x＝2， 3x2x即3(3)－2·3－1＝0. 1xx3＝1(3＝－舍去)， 3∴x＝0. 11－x15．已知函数f(x)＝＋lg . 21＋x(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数的单调性； ??1??1(2)解关于x的不等式f?x?x－??<. ??2??22?11－x1?－1＋解：(1)f(x)＝＋lg ＝＋lg ??， 1＋x?21＋x2?1－x要使f(x)有意义，即>0，得－1－1＋， 1＋x11＋x2baxba2 3

2???－1＋2?， ∴lg ?－1＋>lg ???1＋x1?1＋x2???∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在(－1,1)上为减函数． 1??1??1??1??(2)∵f(0)＝，f?x?x－??<，∴f?x?x－??0x?????2? ， 1－1711＋17解得1??①当?3x>1??40时，logx>0，即f(x)>g(x)； 343x，即00，即f(x)>g(x)； 43x43x③当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)； 434x>1??④当?3x0<<1??401??443x，即1

4?4?f(x)>g(x)；?4?综上所述：当x∈(0,1)∪?，＋∞?时，当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈?1，?3?3??3?时，f(x)0，即f(2)>f(0)． 又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数． 又由(1)，知f(x)是奇函数，则f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)， 所以k·3x<－3x＋9x＋2， 即32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R恒成立． 令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意的t>0恒成立． 令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其图象的对称轴为直线t＝1＋k2. 当1＋k2≤0，即k≤－1时，g(t)在(0，＋∞)上单调递增，g(0)＝2>0，符合题意；当1＋k??k>－2>0，即k>－1时，需满足?1? ?1＋k2－4×2<0 ，解得－1

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