第二章 章末检测(B)

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解析 如图所示可知，∠CDB为二面角B－AD－C的平面角，由CD＝BD＝BC＝a，

2

可知∠CDB＝60°．

16．E是SA的中点

解析 连接AC交BD于O，

则O为AC中点，∴EO∥SC EO?面EBD，SC?面EBD， ∴SC∥面EBD．

AEAH11CFCG

17．(1)证明 因为＝＝，所以EH∥BD，且EH＝BD．因为＝＝2，

EBHD23FBGD

21

所以FG∥BD，且FG＝BD．因而EH∥FG，且EH＝FG，

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故四边形EFGH是梯形．(2)解 因为BD＝a，所以EH＝a，FG＝a，所以梯形EFGH

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的中位线的长为(EH＋FG)＝a．18．(1)解 该几何体的直观图如图所示

22

(2)①证明 连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD．

又OG?面AGC，PD?面AGC，所以PD∥面AGC．

②证明 连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO． 又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD． 因为AO?面AGC， 所以面PBD⊥面AGC．

19．解 存在两个互相垂直的平面，

即平面ACD⊥平面BCD．过A作AE⊥CD，∵AD＝AC＝1，DC＝2，

22，连接BE，∵BD＝BC＝1，CD＝2，BE⊥DC，BE＝， 22

∴∠AEB是二面角A—CD—B的平面角．∵AB＝1，∴AB2＝AE2＋BE2， ∴∠AEB＝90°，∴平面ACD⊥平面BCD．

20．(1)解 ∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD， ∴∠DAC＝90°，∴AE＝

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且平面ABCD∩平面PBO＝BO， ∴BO∥CD．

又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形． 则BC＝DO，而AD＝3BC，

∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．

(2)证明 ∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD， 且AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD， ∴AB⊥PD．

又PA⊥PD，且AB∩PA＝A， ∴PD⊥平面PAB． 又PD?平面PCD，

∴平面PAB⊥平面PCD． 21．

1

证明 (1)如图设AC与BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，

2

所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE．

(2)连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG＝1，∴四边形CEFG为平行四边形，又∵CE＝EF＝1，∴?CEFG为菱形，∴EG⊥CF．在正方形ABCD中，AC⊥BD．∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF． 又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．

22．(1)证明 如图，∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA．

又PA?平面PAB，OD?平面PAB，∴OD∥平面PAB．

(2)解 ∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC．又∵OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC． 取BC的中点E，连接PE，OE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．设AB＝BC＝a，则PA＝PB＝PC

21415

＝2a，OA＝OB＝OC＝a，PO＝a．在△PBC中，∵PE⊥BC，PB＝PC，∴PE＝a．∴

222

210PA

OF＝a．又∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD＝＝a．

302

OF210

在Rt△ODF中，sin∠ODF＝＝．

OD30

210

∴OD与平面PBC所成角的正弦值为．

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