第八章 空间解析几何与向量代数（三峡大学高等数学教案）

高等数学教案 空间解析几乎与向量代数

平面束???

?设直线L的一般方程为

?Ax?B1y?C1z?D1?0 ?1?

?A2x?B2y?C2z?D2?0其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例? 考虑三元一次方程??? A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2 y?C2z?D2)?0? 即 (A1??A2)x?(B1??B2)y?(C1??C1)z?D1??D2?0?

其中?为任意常数? 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例? 所以对于任何一个?值? 上述方程的系数不全为零? 从而它表示一个平面? 对于不同的?值? 所对应的平面也不同? 而且这些平面都通过直线L ? 也就是说? 这个方程表示通过直线L的一族平面? 另一方面? 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中? 通过定直线的所有平面的全体称为平面束?

方程A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0就是通过直线L 的平面束方程? ?x?y?z?1?0 例7 求直线?在平面x?y?z?0上的投影直线的方程?

?x?y?z?1?0?x?y?z?1?0 解 设过直线?的平面束的方程为

x?y?z?1?0? (x?y?z?1)??(x?y?z?1)?0?

即 (1??)x?(1??)y?(?1??)z?(?1??)?0?

其中?为待定的常数? 这平面与平面 x ?? y ?? z ??0垂直的条件是 (1??)?1?(1??)?1?(?1??)?1?0? 即 ????1?

将???1代入平面束方程得投影平面的方程为2y?2z?2?0? 即 y?z?1?0? 所以投影直线的方程为

?y?z?1?0 ??

?x?y?z?0

小结

1. 空间直线一般式、点向式、参数式方程； 2. 直线之间的夹角计算公式；

3. 直线之间的特殊关系：垂直和平行。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意空间直线一般式、点向式、参数式方程求解，直线之间的夹角计算公式及运算是本节的重点，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.一直线过点A(1,2,1) 且垂直于直线L1:相交，求此直线方程。

三峡大学高等数学课程建设组

x?1yz?1xz??又和直线L2:?y?3212?1高等数学教案 空间解析几乎与向量代数

讲课提纲、板书设计

作业 P49: 2，4，5，7，8，9

习题课

一、内容小结 1.平面的方程 （1）一般式 （2）点法式 （3）截距式 2.空间直线 （1）一般式 （2）点向式 （3）参数式

3.线面之间的相互关系 垂直与平行以及等价条件 二、实例分析

?????1．设oA?a?13b,oB?2a?8b,oC??(a?b),a与b是不平行的非零向量，求?的值，使

A、B、C三点在同一直线上。

????2．设oA?a,oB?b，点M是A,B所连直线上的一点，且AM??MB，试用向量a,b及数?表示向量oM。

??3．已知不平行的两向量a和b，求它们的夹角平分线上的单位向量。

4．设点A(1,0,?1)为矢量AB的起点，AB?10,AB与x轴、y轴的夹角分别为

??60?,??45?，试求：

三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案 空间解析几乎与向量代数

（1）AB与z轴的夹角v；（2）点B的坐标。

???????5．求与向量a?2i?j?2k共线且满足a?x??18的向量x。

??????????6．求向量a?3i?12j?4k在向量b?(i?2k)?(i?3j?4k)上的投影。

7．求过y轴，且和点A(2,7,3)及B(?1,1,0)等距离的平面方程。

x?2y?2z?2??，且垂直于平面x?2y?z?5?0的平面方程。 2?32x?4yz?5??,B和D分别为何值时，才能使此直线同时平行于平面9．已知直线

2?D2B?68．求过直线

3x?2y?2z?0和x?2y?3z?0？

作业：

P50 ： 13; 15 ， P51： 15; 16; 17

三峡大学高等数学课程建设组