2018-2019学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷

＝4知x+y＝4，从而得出答案；

②由∠ADE＝90°，点F是AE的中点知CF＝AF＝AE，DF＝AF＝AE，据此得出CF＝DF，再由∠CFE＝2∠CAE，∠EFD＝2∠EAD知∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2∠CAE+2∠EAD＝2∠CAD，结合∠CAB＝45°知∠CFD＝90°，据此可得答案；

（2）分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案． 【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴AB＝4

，∠B＝∠BAC＝45°，

又∵DE⊥AB，

∴△DEB为等腰直角三角形， ∵DB＝x，CE＝y， ∴EB＝

x，

又∵EB+CE＝4， ∴

x+y＝4，

x（0＜x≤2

）；

∴y＝4﹣

②∵DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∵点F是AE的中点，

∴CF＝AF＝AE，DF＝AF＝AE， ∴CF＝DF，

∵∠CFE＝2∠CAE，∠EFD＝2∠EAD，

∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2∠CAE+2∠EAD＝2∠CAD， ∵∠CAB＝45°， ∴∠CFD＝90°，

∴△CDF是等腰直角三角形；

（2）如图1，当点E在BC上时，AE＝

，AC＝4，

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在Rt△ACE中，CE＝则AE＝2CE， ∴∠CAE＝30°， 又CF＝DF＝AE＝

， ，

在Rt△CFG中，GF＝， ∴DG＝DF+FG＝

；

如图2，当点E在BC延长线上时，∠CFD＝90°，

同理可得CF＝DF＝AE＝在Rt△CFG中，GF＝， ∴DG＝DF﹣FG＝

．

，

【点评】本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．

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