2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析

因为cosB≠0，所以tanB＝又B∈（0，π），故B＝

，

，

由cosC＝，C∈（0，π），可知sinC＝，

在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；

（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），

由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，

所以sin（）＝，

所以sinA＝sin[＝

．

﹣（）]＝sincos（）﹣cossin（）＝

16．（2020?江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点． （1）若AC1∥平面PBD，求（2）求证：BD⊥A1P．

的值；

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【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．

因为AC1∥平面PBD，AC1?平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP， 所以AC1∥OP．

因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O， 所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，

所以在△ACC1中，＝＝1．

（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD． 又BD?平面ABCD，所以CC1⊥BD． 因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

又AC∩CC1＝C，AC?面ACC1A1，CC1?面ACC1A1， 所以BD⊥面ACC1A1，

又因为A1P?面ACC1A1，所以BD⊥A1P．

17．（2020?江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相

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切，都与⊙O内切．

（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；

（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）

【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r）， 所以⊙P的周长

，解得

，

故⊙P半径的取值范围为；

（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2?AB＝4πr2（2﹣r）， 设函数

，则f′（x）＝4x﹣3x2，

由于递增， 故当

，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调

时，体积取倒最大值．

18．（2020?江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心

率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e． （1）求椭圆C的方程；

（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设

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＝λ

，

＝

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μ，求λ+μ的最小值．

【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2， 所以椭圆的方程为：

＝1；

＝e＝，∴b

（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），

由＝λ得，即，

代入椭圆方程得：

+（﹣λy0）2＝1，

又＝1，得，

两式相减得：

＝1﹣λ2，

因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ）， 故

；

同理可得：，

故λ+μ＝+＝

，当且仅当x0＝0时取等号，

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