2019年高考理科数学全国2卷(附答案)

21．（12分）

已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?12.

记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足

为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则

按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直

线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. （1）当?0=?3时，求?0及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)?|x?a|x?|x?2|(x?a). （1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若x?(??,1]时，f(x)?0，求a的取值围.

6．C

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 全国II卷 参考答案

1．A 2．C 3．C 4．D 5．A

7．B 8．D 9．A 10．B

11．A 12．B 13．0.98 15．6

14．–3 16．26；2?1

3

17．解：（1）由已知得，B1C1故B1C1又BE?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，

?BE．

?EC1，所以BE?平面EB1C1．

?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以

（2）由（1）知?BEB1?AEB?45?，

故AE?AB，AA1?2AB．

uuuruuur以D为坐标原点，DA的方向为x轴向，|DA|为单位长，建立如图所示的空

间直角坐标系D-xyz，

uuur则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE?(1,?1,1)，

uCCuuur1?(0,0,2)．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

???CB?uCEuur?n?0,?n?0,即???x?0,?x?y?z?0, 所以可取n=(0,?1,?1).

设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则

???CC?uuur1?m?0,即??CE?m?0,?2z?0, ?x?y?z?0.所以可取m=（1，1，0）．

于是cos?n,m??n?m|n||m|??12．

所以，二面角B?EC?C1的正弦值为32． 18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均

由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．

（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为

[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?12(an?bn)． 又因为a1+b1=l，所以

?an?bn?是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8，

即an?1?bn?1?an?bn?2．

又因为a1–b1=l，所以

?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，a1n?bn?2n?1，an?bn?2n?1． 所以a12?b)]?11n?[(ann)?(an?bn2n?n?2，

b12[(a)?(a11n?n?bnn?bn)]?2n?n?2． 20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=1?e?1e?1?0，f(e2)?2?e2?1e2?3e2?1?e2?1?0，