江苏省清江中学高二数学上学期期中试题

清江中学2015—2016学年度第一学期期中考试

高二数学试卷

参考公式：若样本数据x1，x1，…，xn的平均数为x ,

1 s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n 则它的方差 2s?s它的标准差为

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分。请将正确答案填入答题纸相应的空格上）

1．某班级共有学生52人，现将所有学生按01,02,03，…，52随机编号，若用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知04号，17号，43号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是 ▲ ．

2. 某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者的笔试试卷，统计他们的成绩如下表：

分［60,65） ［65,70） ［70,75） ［75,80） ［80,85） ［85,90） ［90,95） 数段 人数 1 3 6 6 2 1 1 由此可以估计200名应聘者中达到80分及以上的有 人. 3. 交通管理部门为了了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为16,21,24,39，则这四个社区驾驶员的总人数N为 .

95x06789x2y24. 已知椭圆??1上的一点P到?0,1?的距离为1，则点P到

34?0,?1?的距离是 .

5. 某中学高三（1）班中选出5名学生参加数学竞赛，他们取得的成

第5题图绩(满分100分)的茎叶图如图，这5名学生成绩的众数是85，则这组数据的方差为 _______． 6. 右面程序执行后输出的结果是 ▲ ．

n?1

x2y2?2?1的右焦点与抛物线y2?12x的焦点重合，7. 已知双曲线

4b则该双曲线的渐近线方程是________．

8. 已知m???1,0,1?,n???1,1?，若随机选取m,n，则直线

s?1

While s?24

s?s?n n?n?1

End While Print n

第6题图

mx?ny?1?0恰好不经过第二象限的概率是________．

1

??0≤x≤2，

9. 不等式组?

?0≤y≤2?

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标

原点的距离大于2的概率是________．

10. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽_____米．

11. 已知命题“?x?[1,2]，使x?2x?a?0”为假命题，

则a的取值范围是 ▲ . 12. 下面给出的四个命题中：

①命题“?x?R，使得x2?3x?4?0”的否定是“?x?R，都有x2?3x?4?0”；

“若x?2,则x?4”的否命题是真命题.

22xy

③方程＋＝1表示双曲线的充要条件是k∈(-1,5)．

k＋1k－5

22第10题图

④命题“在?ABC中，若A?45，则sinA??2”的逆否命题是真命题； 2其中是真命题的有 （将你认为正确的序号都填上）

13. 设命题p:4x?3?1；命题：q:x2??2a?1?x?a2?a≤0．若?p是?q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 ．

x2y214. 已知椭圆2?2?1(a?b?0)上一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点，若

ab?ππ?AF?BF,设?ABF??,且???,?,则椭圆离心率的取值范围是 ▲

?124?二、解答题（本大题共6小题，共90分，分值依次为14+14+15+15+16+16。请将答案写在答题纸相应的矩形区域内,要写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（1）求右焦点坐标是(2,0)，且经过点(?2,?2)的椭圆的标准方程；

（2）已知双曲线中心在坐标原点, 左顶点为A,右焦点F坐标为(2,0), 一条渐近线方程为

uuuruuury?3x，P为双曲线右支上一点，求PA?PF的最小值

16.（本小题满分14分）在四面体ABCD中，CB=CD，AD?BD， E，F分别是AB，BD上的点，且AD//平面CEF. （1）求证： EF//AD；

（2）若E是AB的中点，求证：BD?面EFC。

B F D

E

C

(第16题图)A

2

17.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．图中从左到右各小长方形的高之比是2:3:3:x:5:1，最后一组的频数3，观察图形的信息，回答下列问题： (1)求分数落在?120,130?的频率及抽取学生的总数；

100＋110(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝

2105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；

(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

频率/组距 0.015 90 100 110 120 130 140 150 分数

第17题图

18. 一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字． （1） 若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；

（2）若抛掷两次，以第一次朝下面的数字为横坐标a，第二次朝下面的数字为纵坐标b，求点（a,b）落在直线x?y?1下方的概率．

rr（3）若抛掷两次，记朝下面的点数分别为m,n，向量a?(m,n)与向量b??1,0?的夹角记

为?，求???0,

?????的概率. 4?x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆； 19.已知命题p:方程

a?57?a2命题q:集合A??x|x??a?2?x?1?0,x?R?，B??x|x?0?且AIB??.

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.

3

20. （本小题满分15分）

x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，

ab且四边形F1AF2B是边长为2的正方形． (1)求椭圆的方程；

(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满

足MD?CD，连结CM，交椭圆于点P．证明：

CF1BAPOF2DxyMuuuuruuurOM×OP为定值；

(3)在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的

定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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