2019年高考数学二轮复习专题突破课时作业21坐标系与参数方程理

课时作业 21 坐标系与参数方程 1．[2018·长沙市，南昌市部分学校高三第一次联合模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的方程为3x＋y＋2＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2π??2的极坐标方程为ρ＋4ρsin?θ＋?＋1＝0. 3??(1)求圆C2在直角坐标系下的标准方程； (2)若直线C1与圆C2交于P，Q两点，求△OPQ的面积． π??22解析：(1)ρ＋4ρsin?θ＋?＋1＝0，即ρ＋2ρsinθ＋23ρcosθ＋1＝0， 3??即x＋y＋23x＋2y＋1＝0，(x＋3)＋(y＋1)＝3， 所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x＋3)＋(y＋1)＝3. (2)由(1)知圆心C2(－3，－1)，圆的半径r＝3， 又圆心C2到直线C1的距离 222222d＝|3－3322＋－2＋12＋2|＝1， 则|PQ|＝2r－d＝22. 又原点O到直线PQ的距离d1＝2322＋1＝1， 11所以S△OPQ＝|PQ|·d1＝×22×1＝2. 22??x＝cosθ，2．[2018·全国卷Ⅲ]在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为??y＝sinθ? (θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解析：(1)解：⊙O的直角坐标方程为x＋y＝1. π当α＝时，l与⊙O交于两点． 2π当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当222?2??π，3π?或α∈?π，π?. ＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈???2?42?24??????1＋k? 1

?π3π?综上，α的取值范围是?，?. 4??4(2)解：l的参数方程为 ?x＝tcos α，??y＝－2＋tsin α ?t为参数，π＜α＜3π?. ??44??设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP， 则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t－22tsin α＋1＝0. 2于是tA＋tB＝22sin α，tP＝2sin α. ?x＝tPcos α，又点P的坐标(x，y)满足??y＝－2＋tPsin α，所以点P的轨迹的参数方程是 2?x＝sin 2α，?2?22y＝－－cos 2α??22 ?α为参数，π＜α＜3π?. ?44???3．[2018·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]在平面直角坐标系xOy中，直线lπ过点P(1,0)且倾斜角为，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C3π??的极坐标方程为ρ＝4sin?θ＋?. 6??(1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程； 11(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求＋的值． |PM||PN|1x＝1＋t，?2?解：(1)由题意知，直线l的参数方程为?3y＝??2tπ∵ρ＝4sin(θ＋)＝23sinθ＋2cosθ， 6∴ρ＝23ρsinθ＋2ρcosθ. ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x＋y＝23y＋2x， ∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)＋(y－3)＝4. 22222 (t为参数)． 2

1x＝1＋t，?2?(2)将直线l的参数方程?3y＝??2t－1)＋(y－3)＝4， 22 22(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程(x得t－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－1<0， |t1|＋|t2||t1－t2|∴＋＝＋＝＝＝|PM||PN||t1||t2||t1t2||t1t2|111113. 4．[2018·开封市高三定位考试]在直角坐标系xOy，直线C1的参数方程为??x＝tcosα，???y＝tsinα2t1＋t22－4t1t29＋4＝＝|t1t2|1 (t为参数)，圆C2：(x－2)＋y＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)； π(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求4△OAB的最大面积． ??x＝tcosα，解析：(1)由???y＝tsinα (t为参数)得曲线C1的普通方程为y＝xtanα，故曲线C122的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－2)＋y＝4，得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.故交点A的坐标为(4cosα，α)(写出直角坐标同样给分)． π??(2)由题意知，B的极坐标为?22，?. 4???1?π∴S△OAB＝?×22×4cosα×sin?－α?4?2π????＝?22sin?2α－?－2?， 4????故△OAB的最大面积是22＋2. ?? ?????x＝2cosα，5．[2018·惠州市高三第二次调研考试试卷]已知曲线C：??y＝3sinα (α为参数)和定点A(0，3)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线AF2的极坐标方程； (2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值． 3

?x＝2cosα，解：(1)曲线C：??y＝3sinα则焦点F1(－1,0)，F2(1,0)． 可化为＋＝1，故曲线C为椭圆， 43x2y2所以经过点A(0，3)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x＋即3x＋y－3＝0， y3＝1， 所以直线AF2的极坐标方程为3ρcosθ＋ρsinθ＝3. (2)由(1)知，直线AF2的斜率为－3，因为l⊥AF2，所以直线l的斜率为3?x＝－1＋t，?2角为30°，所以直线l的参数方程为?1y＝??2t代入椭圆C的方程中，得13t－123t－36＝0. 123因为点M，N在点F1的两侧，所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 136．[2018·洛阳市高三年级第一次统一考试]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程??x＝t，为??y＝m＋t?23，即倾斜3 (t为参数)， (t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，3(0≤θ≤π)． 23－2cosθ曲线C2的极坐标方程为ρ＝2(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为22，求m的值． 解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0. 由曲线C2的极坐标方程得3ρ－2ρcosθ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C2的直角坐标方程为＋y＝1(0≤y≤1)． 3(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(3cosα，sinα)，α∈[0，π]， 222x22则点P到曲线C1的距离d＝?2cos?α＋π?＋m?????6??|3cosα－sinα＋m|??2＝2. π??3??∵α∈[0，π]，∴cos?α＋?∈?－1，?， 6???2?π??2cos?α＋?∈[－2，3]， 6?? 4

由点P到曲线C1的最小距离为22得， 若m＋3<0，则m＋3＝－4，即m＝－4－3. 若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6. 2－3若m－2<0，m＋3>0，当|m＋3|≥|m－2|，即m≥时，－m＋2＝4，即m＝－2，2不合题意，舍去； 2－3当|m＋3|<|m－2|，即m<时，m＋3＝4，即m＝4－3，不合题意，舍去． 综上，m＝－4－3或m＝6. ● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生 ● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达?芬奇 25