高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法

向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

rrrr例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；②

uuuruuuruuurO,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量rrrrrrrra,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交（ ）

uuurruuurruuurr点。若AB?a，AD?b，AA1?c，则下列向量中与BM相等的向量是1r1rr1r1rr(A)?a?b?c (B)a?b?c2222 1r1rr11 (C)?a?b?c (D)a?b?c

2222?D1A1DAMB1CBC1????????????例3、已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求x,y的值.

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD. （三）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF?AD?xAB?yAA1，求x－y的值.

在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1?a，A1D1?b，A1A?c，则下列向量中与B1M2、

相等的向量是

22( )。 2222A．?1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c C．1a?1b＋c D．?1a?1b＋c 223、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大是 。

第二课时 空间向量的坐标运算

（一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标

例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a：|a|=b：|b| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb

（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）

A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）

A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)

例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.

题型2：数量积

例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____. ?（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于4。(1)

求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。

题型3：空间向量的应用

例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：13a?1+13b?1+13c?1≤43。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

（三）、强化巩固训练

1、(07天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|－4|b|中，是真命题的有（ ）

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

2

2

ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuu2、已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，求AC．

第三课时 空间向量及其运算强化训练

（一）、基础自测 1.有4个命题：

①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；

③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( )。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（ ）。 A.x=1,y=1

16

32

C.x=，y=-

1213D.x=-，y=

26B.x=，y=-

12

4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线取最小值时，点Q的坐标是 . 5.在四面体O-ABC

OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE= (用a,b,c

OP上运动，当QA·QB中，OA=a,OB=b, 表示).

（二）、典例探析

例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，

AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，

试用a，b，c表示以下各向量： （1）AP；（2）A1N；（3）MP+NC1.

例2、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N 分别是AB、CD的中点.

（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长； （3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.

例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；

（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得AP=（AB-AC）； （3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值； ③确定?，?的值使得?a+?b与z轴垂直，且（?a+?b）·（a+b）=53.

（三）、强化训练：如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. （1）求证：AO、BO、CO两两垂直； （2）求〈DM,AO〉.

补充：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则AE·AF的值为（ C ）A.a

2

12B.a2 C.a2 D.

121432a 4AC1=，则C点的坐标为( C ) AB3107573C.(，?1，) D. (，?，)

332222、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且A.(，?，)

721522 2) B. (，?3，83

3、如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两